摘 要：随着高中数学的不断深入学习，学生的解题能力也不断地提高，构造法解题也是近几年高考解题中得到广泛应用的方法之一。作为一种数学思想方法，构造法的含义很广，通常认为，根据待解问题的特殊性，设计并构造一个新的关系系统，即构造一个数学模式，通过对这个数学模式的研究实现原问题的解决。

关键词：高中数学；解题；方程；函数；数列

数学构造的思想方法具有很大的灵活性.根据待解问题的特征，既可以构造函数、构造方程、构造数列等方式，利于“数”的模式解决数和形的问题；也可以通过构造图形、图象的方式，利用“形”的模式解决关于数或形的问题。因此，构造法在数学问题中有着广泛的应用。

一、 构造法求数列的通项公式

1. 形如an+1=santan+s的递推关系，可采用取倒数的方法，将递推式变形为1an+1-1an=ts，从而构造出数列1an，其首项为1a1，公差为ts。

例1 已知数列{an}中，a1=3，an+1=an2an+1，求其通项公式。

分析：对已知等式两边取倒数得1an+1=2an+1an=2+1an，从而构造等差数列予以解决。

解：对已知等式两边取倒数得1an+1=2an+1an=2+1an，即1an+1-1an=2，故数列1an是首项为1a1=13，公差为2的等差数列，所以1an=1a1+2（n-1）=13+2n-2=6n-53，故an=36n-5，所以数列{an}的通项公式为an=36n-5。

2. 对于递推式an+1=pan+q（p， q为常数）①当p=1时，{an}为等差数列；②当p≠0，q=0时，{an}为等比数列；③当p≠0，q≠0时，可利用待定系数法，转化为等比数列。具体方法是将递推式转化为：an+1+qp-1=p（an+qp-1），此时数列an+qp-1为等比数列，且其首项为a1+qp-1（不等于0），公比为p。

例2 数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2，求其通项公式。

分析：由已知可得an+1+1=3（an+1），从而构造等比数列{an+1}，其公比为3，首项为a1+1=2.

解：设an+1+λ=3（an+λ），從而解得λ=1，所以数列{a1+1}是首项为a1+1=2，公比为3的等比数列，所以an+1=2×3n-1，所以，an=2×3n-1-1。

二、 构造函数证明不等式

构造函数，利用函数的单调性使问题简化。

例3 求证： f（x）=x2+10x2+9≥103。

证明：设t=x2+9（t≥3），则f（t）=t2+1t，用定义法可证：f （t）在[3，+∞）上单调递增，令3≤t10，

∴y=x2+10x2+9≥f（3）=32+13=103。

三、 构造方程

例4 设x，y为实数，且满足关系式：

（x-1）3+1997（x-1）=-1，（y-1）3+1997（y-1）=1

则x+y= 。

分析：此题用常规方法，分别求出x和y的值后再求x+y则既繁又难，三次方程毕竟不熟悉。若将两方程联立构造出方程（x-1）3+1997（x-1）=（1-y）3+1997（1-y）=-1，利用函数f（t）=t3+1997t的单调性，易得x-1=1-y，所以x+y=2。

除此之外，还可以构造恒等式和图形。

总之，利用构造法解题，一定要注意题目的结构特征，构造相应的数学模型，这样使得问题求解简洁，自然，这需要多观察、猜想、尝试，这样才能起到异曲同工之妙。

作者简介：

申明竹，宁夏回族自治区中卫市，宁夏中卫中学。