刘佳惠

(陕西师范大学 数学与信息科学学院,西安 710119)

1 预备知识

设μM,D是由迭代函数系{φd(x)=M-1(x+d)}迭代产生的,Hutchinson在文献[1]中证明该迭代函数系产生的自仿测度μ:=μM,D满足下面等式的唯一概率测度：

其中M∈Mn(Ζ)扩张整数矩阵,D⊂Ζn是基数为|D|的有限数字集,它的支撑是该迭代函数系的吸引子T:=T(M,D).如果存在一个离散的集合Λ⊂Rn,使得指数函数系E(Λ):={e2πi〈λ,x〉:λ∈Λ}构成Hilbert空间L2(μM,D)的正交基(Fourier基),则称自仿测度μM,D为谱测度,上述集合Λ是μM,D的一个谱,也称(μM,D,Λ)为一个谱对(见文献[2],[3]).近年来,自仿测度的谱与非谱以及μM,D-正交指数函数系的有限性与无限性问题已经成为人们研究的主要内容,并取得有效的成果(见文献[9],[12],[13]);而对于非谱问题的研究主要分为两类(见文献[5-7])：(i)空间L2(μM,D)中有有限个正交指数函数系,(ii)空间L2(μM,D)中有无限个正交指数函数系,但不组成正交集.

在平面上，正交指数函数系有限与无限问题已取得比较完善的结论(见文献[9],[12]),在空间上仅对对角矩阵或上(下)三角矩阵进行了研究(见文献[7],[8],[10]).在文献[14]研究的基础上,对于空间上任意三阶扩张矩阵M下面的定理给出了存在无限μM,D-正交指数函数系的充分条件.

定理1.1[14]设D⊂Ζ3是有限数字集,使得

E=E1∪E2∪E3⊆{x∈[0,1)3:mD(x)=0}

(1.1)

其中E1={ek1/2:k1∈{1,2,3}},E2={(ek1+ek2)/2:k1,k2∈{1,2,3}},k1≠k2},E3={(e1+e2+e3)/2}这里e1=(1,0,0)t,e2=(0,1,0)t,e3=(0,0,1)t表示空间R3中的标准正交基.则|D|是一个大于等于8的偶数,且数字“8”是最好的.若M∈M3(Z)为扩张矩阵,使得det(M)∈2Z,则空间L2(μM,D)中存在无限正交系E(Λ)且Λ⊆Z3.

满足(1.1)式的数字集是非常多的,(见[14])而且数字8是最好的下界,并构造出空间R3中一个八元素数字集D

(1.2)

定理1.1中仅讨论了det(M)∈2Z的情况,对于det(M)∈2Z+1的情况,研究其正交指数系的有限性与无……