， ，，芬娜，

( 1.中联煤层气有限责任公司，北京 100011；2.中国石油大学(华东) 机电工程学院，山东 青岛 266580)

随着对碳纤维材料的研究，发现碳纤维材料具有较高的拉伸强度、耐疲劳、耐腐蚀等特点，且材料质量较轻。由此，碳纤维材料用作石油机械设备的制造材料，成为了当今石油机械行业较为热门的研究技术。其中，国外的J·Delmonte等人[1-3]提出了用碳纤维连续抽油杆代替传统钢制抽油杆。

碳纤维连续抽油杆是由聚酯材料包裹碳纤维材料后压制形成的一种轻质、可靠、耐疲劳、强度高的新型井下设备。其轻质的特点使得这种抽油杆不但在常规油气开采作业中广受好评，且在非常规煤层气的作业中也均有涉及应用[4-5]。但是，由于其轻质且构造特殊，使得碳纤维连续抽油杆的振动问题一直存在。在韩城周边的某煤层气田中，已经开始广泛采用碳纤维连续抽油杆作为井下排水管柱，由于振动原因使得部分碳纤维连续抽油杆在作业过程中出现泵效偏低、抽油杆寿命偏低等问题。通过对碳纤维连续抽油杆的结构进行建模，简化分析，从而得出有关碳纤维连续抽油杆的振动特性及共振条件。

1 构建碳纤维连续抽油杆的振动模型

碳纤维连续抽油杆是以碳纤维材料为内心，外层包裹聚酯氟乙烯材料而制成的复合杆[6-7]。在作业过程中，碳纤维连续抽油杆的上端连接着光杆。由于碳纤维材料易受压失稳，所以在碳纤维复合杆下端还要连接一段加重钢杆。在整个系统中，将碳纤维复合杆看作是由碳纤维材料与聚酯氟乙烯材料并联的2种弹性体，其弹性系数分别设为k1、k2。连接的加重钢杆也可看作是一种弹性体，设其弹性系数为k3。当抽油杆工作时，还将受到泵筒活塞带来的阻尼力，设其阻尼系数为c。整个系统的振动模型如图1所示。

图1 碳纤维连续抽油杆的振动模型

在图1中，k1、k2、k3分别为碳纤维内心的弹性系数、聚酯氟乙烯包裹层的弹性系数、钢杆的弹性系数；c为活塞的阻尼系数；m为作用在抽油杆上的质量，kg；Q为光杆作用在抽油杆上的外力，N。

图1所示抽油杆的振动模型为单自由度有阻尼强迫振动模型。分析上述模型，k1、k2为并联，则弹性系数可简化为k4。

(1)

式中：δst表示弹性改变量，m；F1、F2分别表示碳纤维材料与聚酯氟乙烯材料所受分力，N；g为重力加速度，取g=9.8 m/s2。

则可得出碳纤维复合杆的弹性系数k4为：

(2)

将k4与k3串联简化，则整体弹性系数可化简为k。

(3)

得出：

(4)

经简化，碳纤维连续抽油杆的单自由度有阻尼强迫振动模型[8]如图2。

图2 单自由度有阻尼强迫振动模型

2 单自由度有阻尼强迫振动的微分方程及求解

通过对振动模型的简化，碳纤维连续抽油杆的振动模型已经化简为一个最基础的单自由度有阻尼强迫振动模型[9]，其振动方程为：

(5)

式中：Fx为恢复力，N；Rx为粘性阻尼力，N；Qx为受到的干扰力，N；H是振动模型的振幅，m；ω是振动模型的振动频率，Hz；t为时间当量；x是振动位移，m。

令：

(6)

得到方程：

(7)

其中，x表示为：

x=x1+x2

(8)

x1为方程(7)的通解，表达式为：

(9)

式中：A、α为积分常数，无量纲，取决于初始条件；ω为谐振频率，Hz。

x2为方程(7)的特解，表达式为：

x2=bsin(ωt-ε)

(10)

综上得出方程全解为：

(11)

式中：b为强迫振动的振幅，m；ε为强迫振动相位滞后激振力相位角。表达式为：

(12)

3 阻尼对强迫振动的影响

碳纤维抽油杆在有阻尼振动工作中的各项特征：

1) 振动规律。由式(10)可知振动为简谐振动。

2) 频率。有阻尼强迫振动的频率等于激振力的频率。

3) 振幅。可由频率比λ、振幅比β以及阻尼比ζ进行分析。

由式(13)

(13)

得出：

①当λ≪1(ω≪ωn)时，β→1，b→b0，可忽略阻尼。

②当λ≫1(ω≫ωn)时，β→0，可忽略阻尼。

③当λ→1(ω→ωn)，ζ<0.7时，阻尼对振幅影响显著，ω一定时，阻尼增大，振幅显著下降。

图3为β-λ曲线[10]。

图3 β-λ 曲线关系

由图3可得到：

(14)

进而得出：

(15)

其中：

(16)

4) 相位差。有阻尼强迫振动相位总比激振力滞后一个相位角ε，ε称为相位差。表达式为：

(17)

其特征为：

1)ε总在0～π区间内变化。

2) 相频曲线 (ε-λ曲线)是一条单调上升的曲线。ε随λ增大而增大。

4) 当λ>1时，ε随λ增大而增大；当λ≫1时，ε≈π。

4 碳纤维连续抽油杆的振动分析

在采油作业中，碳纤维复合材料抽油杆与加重钢杆形成两级杆柱，为了避免在工作中产生共振而影响抽油杆的工作寿命，需要将碳纤维连续抽油杆的两级杆柱进行建模分析，其模型如图4。

则得到两级杆柱各自纵向振动的方程为：

(18)

在两级抽油杆作业过程中，按照两种边界条件进行抽油杆的振动分析[11]。

图4 碳纤维连续抽油杆两级杆柱的结构模型

4.1 边界条件一

碳纤维复合杆的位移为光杆激振位移，其中碳纤维复合杆与加重钢杆接合处位移相等，且接合处作用力相等，加重钢杆底端作用力为0，得出边界条件为：

(19)

式中：L表示杆长，m；E为材料的弹性模量，MPa；A1、A2为杆柱截面积，m2，下角标1、2分别代表了碳纤维复合杆与加重钢杆；Fs是碳纤维复合杆与加重钢杆接合处所受张力，N。

通过边界条件得到的振动方程为：

(20)

式中：B、C、D为边界条件系数，其表达式为：

(21)

4.2 边界条件二

(22)

式中：FT为加重钢杆底端所受张力，N。

通过边界条件得到振动方程为：

(23)

G的表达式为：

(24)

将两种边界条件解得的方程结合，即得到抽油杆运动任意截面的位移和作用力为：

(25)

(26)

由此得抽油杆3个节点处的位移及作用力：

1) 光杆与碳纤维复合杆的结合处。

此时x=0，得到该点处的位移表达式及作用力表达式为：

(27)

2) 碳纤维复合杆与加重钢杆的结合处。

该点处的位移表达式及作用力表达式为：

(28)

3) 加重钢杆与泵筒的结合处。

此时x=L，得到该点处的位移表达式及作用力表达式为：

(29)

5 示例分析

以韩城周边某煤层气田为例，一口井深为800 m的煤层气测试井，按照上述振动分析计算方法，采用直径19 mm的碳纤维复合杆550 m与直径为22 mm的加重钢杆100 m为碳纤维连续抽油杆组合，其悬点载荷受力相较传统钢制抽油杆减小11 485.85 kN，整体排水作业较为正常，碳纤维连续抽油杆未出现寿命异常现象，成功完成测试。

6 结论

1) 碳纤维连续抽油杆是由碳纤维丝、填充复合材料及包覆层材料压制成型，对于传统单一材料的钢制抽油杆的振动分析并不适用于碳纤维连续抽油杆上。碳纤维连续抽油杆的结构通过分析简化，可以将它的振动模型简化为单自由度阻尼强制振动的振动模型。

3) 分析不同边界条件下碳纤维连续抽油杆的状态特性，得出各个节点下的位移及受力方程。通过分析得出了碳纤维连续抽油杆的共振条件，以此可以通过设计及计算，避免碳纤维抽油杆在作业过程中产生共振。

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