张 超，李 彬,2，赵新华,2

（1.天津理工大学 天津市先进机电系统设计与智能控制重点实验室，天津 300384；2.天津理工大学 机电工程国家级实验教学示范中心，天津 300384）

0 引言

近年来，随着并联机构相关理论研究和应用的不断深入，少自由度并联机构，特别是3自由度并联机构得到了较快的发展，已成为并联机构领域的研究热点。相对于6自由度并联机构，少自由度并联机构具有机械结构简单、制造成本低、工作空间大、精度高、速度快、累计误差小等优点，在加工制造、医疗器械、航空航天等领域得到了广泛的应用。三平动自由度并联机构是少自由度并联机构中非常重要的一类，对于这类机构的设计研究已经成为目前少自由度并联机构研究的趋势。文献[1]设计一种3自由度平动机器人Delta robot，被广泛应用于流水生产线的抓拾作业，成为工业应用最成功的并联机构之一。文献[2]提出一种新型的3-CRU并联机构，并对机构的构型，正反位置，工作空间，传动性能等做了研究。文献[3]对一类具有3个完全相同运动支链的平动并联机构的拓扑做了研究。文献[4]对一类含平行四边形支链的三平动自由度并联机构的几何误差建模，灵敏度及装配工艺做了研究，并已将其应用于并联机床的主模块。文献[5]提出一种新型的三自由度并联机构3-CPR，并基于ADAMS软件对机构的运动学模拟仿真，同时利用遗传算法对机构的工作空间做了研究。文献[6]以一种新型的三平动自由度并联机构3-PRUR为研究对象，利用螺旋理论分析了机构的自由度属性，并基于使用Bezout消元法对机构的位置进行了分析。文献[7]设计了一种3自由度高精度并联机构3-UPU，并对机构建模设计，灵敏度分析，同时基于机构的研究对原型机进行了研发。文献[8]利用变胞机构理论设计了一类3-UPU并联机构构型转换的实现机构，并利用螺旋理论对机构的自由度等进行分析，同时研究了转换位置点对工作性能的影响。

本文以三平动自由度并联机构3-CRU为研究对象，基于螺旋理论对机构的自由度属性进行了分析，该机构可实现空间三平动运动。并利用几何法对机构的位置正反解进行了研究，同时基于正解方程，得到了机构的工作空间。另外，通过建立机构的雅克比矩阵，利用机构灵巧度指标对机构的工作性能进行研究，为后续机构动力学及实际应用奠定理论基础。

1 机构组成与坐标系建立

3-CRU并联机构如图1所示，它是由动平台和静平台通过3个完全相同的CRU运动支链连接而成的，其中，静平台分布有三条相同的支撑导轨，其中，两条导轨在同一平面内，另一条导轨的轴线所在的平面垂直于两导轨所在平面，这种分布方式称为面对称分布。CRU支链自下而上依次通过圆柱副（C）、转动副（R）和虎克铰（U）彼此之间相互连接而成，支链的一端通过圆柱副与静平台上的支撑导轨相连，另一端通过虎克铰与动平台直接连接。

图1 3-CRU三维模型图

为了建立机构的位置分析模型，如图2所示，在静平台上建立参考坐标系O-xyz，其中O点位于静平台三个支撑导轨的交点，y轴与O2O3的连线平行并由O3点指向O2点，z轴垂直于静平台，x轴满足右手定则。图中Ai点位于圆柱副的中心，Bi点位于转动副的中心，Ci点位于虎克铰的中心，点P在动平台上，并且位于动平台的几何中心，Oi为支撑导轨与静平台的交点。

图2 3-CRU机构原理图

如图2所示，对于CRU运动支链，圆柱副的轴线与转动副和虎克铰的轴线彼此相互平行。支撑导轨OOi与xoy平面的夹角用βi表示，其中β1=β2=β3=β。

2 3-CRU并联机构自由度分析

3-CRU并联机构的自由度属性由机构的三条支链对动平台所提供的约束力和力偶共同决定，本文通过互易螺旋理论对施加在动平台的约束力进行分析。不失一般性，在机构的每条支链上建立坐标系Ai-xiyizi（i=1,2,3），则，每条支链的螺旋系如图3所示，通过分析可得：

其中SiC和SiR分别表示圆柱副和转动副的单位方向向量，并且SiC=SiR。同样SiU1和SiU1表示虎克铰的单位方向向量。

通过互易运算，可以得到式(1)中5个螺旋的反螺旋，即CRU支链的约束螺旋为：

图3 CRU支链约束图

通过式(2)可知，机构中绕x轴，y轴和z轴的转动被约束，因此，3-CRU并联机构具有三个平动自由度（沿x轴方向，沿y轴方向和沿z轴方向）。因此，3-CRU并联机构是一个三平动自由度并联机构。

3 3-CRU并联机构位置分析

3.1 位置逆解

3-CRU并联机构的位置逆解分析是通过给定动平台的位置坐标，求解圆柱副在支撑导轨上的移动距离如图2所示，构建闭环矢量方程，在参考坐标系O-xyz中，点P的位置向量r=(x y z)T可以表示为：

对于CRU支链，在式(3)的两边同时点乘siR可得：

由式(4)可知，通过给定动平台的位置向量r，可以求出对应的qi，也就是点O到点Ai的距离，进而可以得到点Ai在支成导轨上位置。

3.2 位置正解

3-CRU并联机构的位置正解是给圆柱副在支撑导轨上的移动距离通过一定的数学运算得到动平台在坐标系O-xyz中的位置。

通过式(4)可以求出：

式中：a为动平台上点P到点Ci的距离，即：

将式(6)和式(7)相加可得：

同理，式(6)减式(7)可得：

将式(8)代入式(5)可得：

因此，给定圆柱副Ai的位置，通过式(8)、式(9)和式(10)可以得到动平台上P点在坐标系中的位置，进而可以求出动平台在静平台中的相对位置。同时，由式(8)、式(9)、式(10)可知，机构动平台的位姿仅与支撑导轨与坐标系的夹角β和点P到点Ci的距离有关，与杆AiBi和杆BiCi的长度无关。

3.3 数值算例

根据3.1节和3.2节的位置正反解分析，设定3-CRU并联机构的结构参数，a=400mm，β=25°。对于机构的位置反解，给出两组不同的输入(x y z)，通过式(5)，式(6)和式(7)可得输出结果如表1和图4所示，对于机构的位置正解，为了验证正反解之间的相关性，将反解的输出作为正解的输入(q1q2q3)，通过式(8)、式(9)、式(10)可得到正解的输出如表2和图5所示。

图4 机构位置反解

表1 机构的位置反解

表2 机构的位置正解

图5 机构位置正解

4 3-CRU并联机构的雅可比矩阵

对式(5)、式(6)和式(7)分别关于对时间求导可得：

当机构非奇异时，式(11)～式(13)可表示行列式的形式，如式(14)所示：

式中：

其中J为3-CRU并联机构的雅克比行列式。

当J可逆时，式(14)可以表示为：

可知，式(14)为机构的速度反解，式(15)为机构的速度正解。

5 3-CRU并联机构的工作空间分析

工作空间是衡量机构性能的重要指标，与串联机构相比，并联机构的运动学正解比较复杂，各关节之间相互约束较大，奇异位置较多，增加了工作空间分析的难度。本节在前面对机构运动学分析的基础上，通过限制圆柱副的移动范围，运用机构的运动学正解求解机构的运动空间。

根据3-CRU并联机构结构特点，将机构的约束条件设置为0≤q1≤300(mm)，0≤q2≤300(mm)，0≤q3≤300(mm)，β=25°通过MATLAB软件仿真可得机构的工作空间如图6所示。

图6 机构的工作空间

由图6(a)和(b)可以看出，3-CRU并联机构在x轴方向的工作空间较y轴方向的工作空间更大，由图6(c)可以看出，机构在z轴方向的工作空间较大，由图6(d)可知机构的工作空间关于y轴对称分布。

6 3-CRU并联机构工作性能分析

并联机构工作性能分析的方法有很多种[9,10]，其中灵巧度分析是影响机构机械设计、轨迹规划、机构控制的重要因素之一。并联机构的灵巧度是指机构在任意方向上位置或力和力偶变化的能力。本文用过定义灵巧度的指标来分析3-CRU并联机构的工作性能，灵巧度的评价指标的定义如下，

式中，J为机构的雅克比行列式，λ表示机构避免奇异的能力，当λ=0时，机构为奇异配置，当λ的值越趋近于1时，机构避免奇异的能力越强，工作性能越好，机构的工作性能如图7所示。

图7 机构的工作性能

如图7所示，当β=0°和β=90°时，机构的工作性能最差，当β=35°时，机构的工作性能最好，机构的工作性能在0°～35°之间随β角的增大而增大，在35°～90°之间，随着β角的增大而变差，β的取值范围在25°～45°之间时，3-CRU并联机构具有较好的工作性能。

7 结论

本文以三平动自由度并联机构3-CRU为研究对象，利用螺旋理论分析了机构自由度属性，同时利用几何法对机构的位置正反解分析求解，得到机构运动学方程，并利用机构的运动学正解，对机构的工作空间进行了分析。基于螺旋理论建立机构的雅克比矩阵，并利用机构灵巧度指标对机构的工作性能进行研究，通过MATLAB软件仿真结果可分析出机构工作性能的优劣，这为后续机构的优化设计及实际应用奠定理论基础。

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