张明星 程光权 刘忠 张家铭

现代战争已不再是单武器的较量,而是系统与系统、编队与编队之间的对抗.战争的胜负也不仅仅取决于单武器装备的先进程度,更取决于编队和武器的协同程度.在这种情况下,单武器已经不能充分发挥其应有的作用,多武器协同将变得越来越重要.因此,作为多武器协同作战关键技术之一的任务规划技术,自然也成为研究的重点.任务规划技术运用于协同作战,使得多武器平台协调配合,充分发挥各种武器资源的战术和技术性能,在完成既定作战任务的同时获得武器系统的最大效能.其中,武器目标分配(Weapon target assignment)和协同航迹规划(Cooperative path planning)是协同作战任务规划技术的最经典问题.

武器目标分配问题主要是确定用哪些武器攻击哪些目标,使得整体作战效能最大[1].马向玲等指出,武器目标分配问题是一个具有众多约束条件的复杂优化问题,其解空间随着武器数量和任务数量的增加呈指数级增长[1].Ahujia等指出,武器目标分配可以转化为非线性整数规划问题来求解,而且武器目标分配问题已被证明是NP完全问题,即使是类似于20个武器打击20个目标这样的小规模问题,试图较短时间内求得精确解也是不现实的[2],当武器和目标数量众多时,一般采用遗传算法[3]、蚁群算法[4−5]等智能优化方法求解.

协同航迹规划问题主要是利用武器之间相互通信的数据链,以及其他战术信息,为武器设计出从发射点到目标点且满足各种战术要求的飞行航迹,以实现多武器在飞行航迹上的相互配合,协同高效地完成对目标的攻击[6].相对于单武器的航迹规划而言,多武器协同航迹规划的研究较少,主要原因在于当解算得到单条航迹后,还需要处理多条航迹在时间和空间上的协调关系,求解异常复杂.目前,对于多武器协同航迹规划主要采用进化计算方法[7−9]、泰森多边形法 (Voronoi)[10−11]、层次分解方法[12−13]等.

然而,完整的作战行动除了需要武器目标分配计划和航迹规划方案的支持外,还有一个不容忽视的衔接环节——武器发射时间的确定.特别是随着战争形态的不断演变,多武器协同作战已成为基本的作战样式,参与打击的武器数量越来越多,确定武器发射时间愈发重要.据美国防部披露的资料,在伊拉克战争中,美英联军共发射了巡航导弹800多枚,仅在2003年3月22日凌晨的“震慑行动”第一波空袭中,指挥部便在较短时间内协调美英两军的30艘水面舰艇和潜艇向伊拉克发射了320枚“战斧”巡航导弹[14].可见,现代战争中密集的火力打击任务,给武器发射时间的确定提出了更加严峻考验.

1)作战任务的差异化需求使得武器发射时间更加灵活.例如,在反舰导弹武器实施饱和攻击作战中,为达到多导弹同时突防的目的,往往要求多导弹对各自目标同时发起攻击[15].而美海军的“战斧”巡航导弹在执行打击任务时,导弹发射协调员(Tomahawk Strike Coordinator)需要根据发射平台及目标的地理位置、后勤保障条件、导弹库存情况等众多信息,快速计算出同一武器平台的多枚“战斧”导弹的发射时间,确保多弹间隔有序发射[16].

2)侦察监视技术的快速发展对武器发射时间的要求更加苛刻.随着航天技术的发展,利用各类侦察卫星对武器平台进行侦察监视,已成为威慑和打击武器平台的有效手段[17].现代战争中发现即摧毁的特性,使得武器平台一旦发射第一发武器,就会急剧增加暴露的危险[16],需要快速完成发射任务并进行武器转移,对发射时间的控制极为苛刻.

3)武器平台的安全性指标要求武器发射时间更加精确.协同作战过程中,多武器火力作用及控制范围变大,并且很可能出现重叠,而出现多武器弹道交叉的现象.以多反舰导弹协同攻击为例,弹道交叉的导弹之间可能会出现导引头信号相互干扰,弹体相互撞击等情况,严重影响导弹及舰艇编队的安全[18].

因此,多武器协同作战条件下,协调不同武器平台之间的武器发射顺序,快速计算所有武器的发射时间变得尤为重要,有必要研究多武器协同作战条件下武器发射时序规划问题.文献[19]研究了反导拦截导弹的飞行方案及发射时间窗口,并指出在不同的作战任务中,快速设计反导拦截导弹的飞行方案及发射时间窗口可以有效提高拦截系统的反应能力.文献[20]对于飞航导弹齐射的发射时间进行了研究,但算法仅适用于多发导弹同时发射的情况,对于有发射时间间隔要求的多武器平台协同攻击问题,适用性不强.文献[17]研究了反导拦截导弹的飞行方案及发射时间窗口,建立了拦截导弹的动力学模型,并提出了求解算法,研究对于计算单发拦截导弹发射时间窗口具有指导意义.

此外,本文还借鉴参考了协同任务规划[21−25]以及时间约束网络[26−28]等领域的相关研究成果,并在对以上相关文献的理解和借鉴基础上,从多武器协同作战发射时序规划问题的描述入手,建立了多武器平台多发射任务协同优化的混合整数规划模型,并设计了模型的求解算法,而后通过具体的仿真实验验证了模型及算法的有效性.

1 问题的提出

多武器协同作战发射时序规划是指在满足不同约束的条件下,为所有武器平台的武器合理规划发射时间,使得所有武器的发射时间尽可能缩短,降低武器平台被侦察及被打击的风险,以获得最佳作战效能.

以武器打击关系如图1所示的作战行动为例,对多武器协同作战发射时序规划予以说明.有3套武器平台(A、B、C)参与作战,每套武器平台携带3发武器,为避免武器平台被侦察和打击,要求在给定的时间范围内要尽可能快地将携带的所有武器射向3个目标区(D、E、F).由于武器平台功能的限制以及作战行动的要求,作如下规定:1)同一武器平台发射的3发武器必须分别打击不同目标区的目标;2)同一武器平台的3发武器不可能同时发射,连续发射的武器之间至少需要间隔一定的时间;3)打击同一目标区的3发武器分别来自不同的武器平台;4)打击同一目标区的3发武器不能同时击中该目标,必须至少间隔一定的时间.

图1所示问题属于小规模(9发武器)的多武器协同作战发射时序规划问题,可用枚举法予以求解,但现代战争中,仅一次战役所消耗的武器数量就是惊人的,枚举法已无法求解,因此,有必要构建多武器协同作战发射时序规划的数学模型,用更加有效的算法进行求解.

所以,多武器协同作战发射时序规划问题可以描述为,某作战任务共出动I(I＞1)套武器平台,总共携带J(J＞1)发武器,在规定的时间范围[T,T+Δt]内,必须将所有武器射向K(K＞1)个目标区的L(L＞1)个目标.在满足发射时间窗口、发射安全间隔、弹道交叉等众多约束的条件下,为所有武器平台的武器合理规划发射时间,以获得最优的发射时序规划方案.

为便于研究,在不影响多武器协同作战发射时序规划主要需求的前提下,进行如下假设:

1)同一武器平台发射的多发武器可以分别打击不同目标区的目标;

2)不同武器平台发射的武器可以协作打击同一目标;

3)不考虑恶劣天气等不定因素导致发射任务终止或推延的情况,在给定的时间区间内,所有发射任务均能被执行.

2 模型构建

2.1 符号说明

1)集合.

I表示武器平台集合,且i=1,2,···,I;

J i表示从武器平台i发射的第j发武器,且j=1,2,···,J;

K表示目标集合,且k=1,2,···,K;

L k表示第k个目标的第l个瞄准点,且l=1,2,···,L.

2)参数.

t ij-start:武器平台i的第j发武器的发射时间;

t ij-fly:武器平台i的第j发武器的飞行用时;

t ij-end:武器平台i的第j发武器击中目标的时间,且t ijend=tijstart+tijfly;

t ij-cross-fly:武器平台i的第j发武器飞抵弹道交叉点cross的飞行用时,其中弹道交叉点cross由第i个武器平台的第j发武器的弹道与第i′个武器平台的第j′发武器的弹道相交产生;

ΔT i-launch:武器平台i连续发射两发武器时的最短时间间隔,且i∈[1,I];

ΔT i-safe:武器平台i连续发射多发武器时的安全时间范围,即第1发武器发射后必须在ΔT isafe的时间范围内将剩余武器全部发射完毕,且i∈[1,I];

T start-earliest:武器平台最早允许的武器发射时间;

T start-latest:武器平台最晚允许的武器发射时间;

3)决策变量

t ij-start:武器平台i发射的第j发武器的发射时间;

2.2 数学模型

2.2.1 优化目标

使武器平台在尽可能短的时间内完成武器发射任务,即最小化所有武器平台的最终发射时间,设所有武器中,武器平台i的第j发武器最后发射,且发射时间为则目标函数为:

2.2.2 约束条件

1)同一武器平台连续发射两发武器的发射时间间隔约束,即同一武器平台连续发射两发武器之间的时间间隔必须超过某一规定的安全间隔ΔT launch.如式(1)所示.

2)武器击中目标的时间间隔约束,即相邻两发武器先后击中目标的时间间隔不能小于某一规定的时间范围如式(2)所示.

3)每发武器的发射时间必须满足武器发射时间窗口的要求,即发射时间必须在最早开始时间和最晚完成时间区间内.如式(3)所示.

4)实际作战过程中,为达到某些作战目的,所有目标的催毁时间必须满足打击时间窗口的要求,即目标被摧毁的时间必须在最早允许打击时间和最迟打击时间区间内.如式(4)所示.

5)多发武器在飞行过程中,可能存在弹道交叉的情况,为了防止武器发生相撞或导引头的相互干扰,弹道交叉的任意两发武器飞经弹道交叉点的时间之差不能小于某一规定的时间间隔如式(5)所示.

3 算法设计

3.1 基于随机搜索的初始解生成策略

多武器平台在进行协同攻击时,所有武器的允许发射时间构成了武器的攻击时序集合,因此,本文设计一种基于发射任务和发射时间的初始解生成方案.初始解生成策略示意图如图2所示.

步骤1.生成一组随机数.随机生成一组时间窗口之内的互不相等的随机数,存储于数组array中,数组长度设置为m×n,其中m表示预产生的初始解的规模,n为武器发射的任务数.即一组随机数被分割为m组,每组包含n个随机数.

步骤2.将数组array中的元素分别复制到m组初始解中.一组含有m×n个互不相等的随机数,可以生成m组互不相同的初始解.

步骤3.将初始解归零化.找出每组初始解中的最小值Min,再将初始解中的每个元素减去Min,确保初始解中的元素至少有1个元素的值为0,即每组初始解所表示的发射时间中,始终确保有至少1个任务于0时刻发射.如图3所示,经过步骤1和步骤2后,某组随机数被复制到一个长度为6的数组array1中,用于表示6发武器的发射时间,可见数组元素的最小值为1.72,归零化指用数组array1中的每位元素减去最小值1.72,得到一个新的数组array2,其中第4位的元素值为0,即任务4最先发射,数组array2即表示6发武器的初始攻击时序.

采用上述初始解生成方法既简单、方便,又能保证每组初始解均对应一种攻击时序规划方案.

3.2 弹道交叉处理策略

理论上,为保证武器在弹道交叉点处的飞行安全,可采用空间调整或时间分配的方法.而对于作战中高速飞行的武器而言,要通过提升弹道高度以保证两发弹道交叉武器的飞行安全,并非易事,主要存在以下局限:一是武器的飞行空域受限,多武器协同作战过程中,弹道交错纵横,往往存在大量的弹道交叉点,使得在发射地域到目标区之间相对有限的作战空间内,要调整大量武器的弹道十分困难;二是作战时间受限,在实际的作战任务中,战场瞬息万变,战机稍纵即逝,弹道高度的大幅度提升,意味着武器的空中飞行时间延长,击中目标的时间也相应延后,这将导致武器被对方侦察和拦截的风险急剧上升.因此,在不影响作战任务的前提下,本文考虑采用时间分配的方法,即为武器之间分配安全的发射时间间隔,以保证在作战空域受限的情况下多发武器之间的飞行安全.

在多武器协同发射任务中,弹道难免出现交叉的现象.如图1所示作战任务为例,弹道AE与BD的交叉点为M,两发武器分别从A和B发射,发射时间分别为武器飞行AM和BM的距离后到达M点,设武器的平均飞行速度为v,则两发武器飞行到达M点分别用时若两发武器在M点发生相撞,则必然符合以下关系:

为避免发生上述情况,两发武器必须满足:

其中,Δt为规定的某一安全时间间隔.不妨设:

Cross A和Cross B便共同构成了弹道交叉点M的2个时间属性,式(7)可改写为:

因此,弹道交叉的2发武器飞经交叉点时必须满足如式(10)的关系,才能确保不发生相撞.

3.3 弹道交叉处理策略

经过弹道交叉约束、时间窗口约束等约束判断后,满足约束条件的初始解即可行解,可行解中的元素值即每发武器的发射时间,每组可行解代表了一种发射方案(即所有武器的攻击时序),每组可行解中元素的最大值即代表最后一发武器的发射时间.而本文研究问题的优化目标为最小化最后一发武器的发射时间,所以,挑选出所有可行解中最大元素值最小的那组解,即为最优解.

为探寻可行解的特点和规律,本文采集了120组可行解样本,运用IBM SPSS Statistics 19.0对样本进行分析,结果表明,可行解中元素的最大值(Max)与所有元素的和(Sum)存在密切关系,分析结果如图4所示.

图4(a)为两变量(最大值Max、和值Sum)的线性相关关系散点图(Scatter Plots),用于反映两变量的线性相关方向.如图所示,散点大致呈椭圆形,且两变量呈同向变化趋势,可见,最大值Max与和值Sum为正相关关系.

图4(b)为两变量(最大值Max、和值Sum)的Pearson积差相关系数的分析结果,用于反映两变量的线性相关程度.如图所示,最大值Max与和值Sum之间的Pearson相关系数为0.943,假设检验的P值为0.000,远小于0.01的显著性检验水平,表明最大值Max与和值Sum之间具有显著的统计学意义,即二者显著线性相关.

综上所述,可行解中元素的最大值与元素和之间存在显著的正相关关系.因此,改变可行解中元素的和值将可以显著影响元素中的最大值.为此,本文设计了基于空间压缩思想的可行解质量进化策略:

步骤1.缩小随机数的取值范围.以一定的步长逐步缩小随机数的取值范围,即逐步缩小发射时间窗口.其中步长的取值与任务的精确度要求有关,若任务要求发射时间精确到分,则可将步长设为1min.本文将步长设定为0.01min.

步骤2.生成新的初始解.以步骤1生成的新时间窗口为取值范围,按照初始解生成策略的步骤,生成m组新的初始解.

步骤3.按初始解元素和选取并保留部分初始解.对步骤2所得m组初始解的元素进行求和,按和值大小对初始解进行升序排列,保留前k组初始解,即保留元素和值最小的前k组.本文取k=m/4.

步骤4.进行约束判断求可行解.将步骤3保留的初始解进行弹道交叉约束、时间窗口约束等约束判断,得到可行解.

步骤5.挑选近似最优解.按照优化目标,从步骤4所得可行解中挑选并保留近似最优解.

步骤6.更新近似最优解.进一步缩小随机数的取值范围,重复步骤2至步骤4,若所得解优于步骤5所得,则更新并保留新的近似最优解,否则,依然保留步骤5所得.

3.4 算法步骤

步骤1.数据预处理.通过地理信息系统快速获取各武器平台到目标区的距离,利用武器的平均飞行速度来计算武器击中目标区的飞行用时.标注各弹道的交叉点,利用式(8)和式(9)计算各交叉点的两个时间属性,用于构建弹道交叉矩阵.

步骤2.随机生成n个发射时间窗口之内的互不相等的随机数,将随机数归零化后,得到一组初始解,其中n等于武器发射任务数.

步骤3.用初始解筛选策略对步骤2生成的初始解进行质量检查,符合筛选策略的解进入下一步骤.

步骤4.调用综合约束模块(包含弹道交叉约束、发射时间窗口约束,等),对步骤3所得初始解以及各武器的飞行用时等基本信息进行综合判断,符合条件的解存入可行解集合.

步骤5.按照优化原则,对步骤4所得可行解集合进行综合寻优,得到最优解,即符合作战要求的最优发射时间.

算法流程图如图5所示

4 算法设计

将算法在Visual C#4.0环境中仿真实现,实验数据在IBM SPSS Statistics 19.0中进行统计分析.计算机配置为:Intel Core2处理器,2.13 GHz主频,4GB内存,Windows XP操作系统.

4.1 仿真算例设定

为验证模型及算法的合理性和有效性,设定如下背景:某作战行动共出动10套武器平台,并分别配置于10个不同的阵地,每套武器平台携带3发武器,拟打击某区域的10个目标,每个目标有3个瞄准点,分别由3套不同的武器平台负责攻击,共有30发武器的攻击时序需要规划.弹目匹配关系已经明确,如图6所示.图中顶点V1,V2,···,V10表示武器平台,顶点V11,V12,···,V20表示目标,→表示弹目间的匹配关系,各发武器的飞行距离易于测出.

为保证任务的顺利完成,武器平台和发射任务需要满足如下时间约束:

2)相邻2发武器先后击中目标的时间间隔不能小于某一规定的时间,即

3)弹道交叉的2发武器先后飞经交叉点的时间间隔必须不小于 0.5min,即

假设所有弹种均属同一型号,且平均飞行速度v=430m/s,每发武器飞抵目标的距离及飞行用时如表1所示.

经过测算,30条弹道共形成了62个弹道交叉点.仅以弹道＜V9,V20＞与＜V10,V19＞的交叉点O为例,武器从V9到交叉点O的距离为479.01km,飞行用时18.57min,从V10到交叉点O的距离为573.86km,飞行用时22.24min.于是,18.57min和22.24min分别构成了交叉点O的2个时间属性.所有交叉点的时间属性如表2所示.

4.2 仿真实验分析

1)对仿真结果的分析.

取初始解规模为4000组,最大迭代次数为1000,算法搜索得到所有武器发射任务完成的最短时间为7.36min,最优的攻击时序如表3所示.

由表3可知,有3发武器可以在0时刻同时发射,分别是任务2、任务17和任务26,它们分属于1号武器平台、6号武器平台和9号武器平台.而属于8号武器平台的第23号任务在最后发射,且发射时间是第7.36min.最优攻击时序可用散点图(Scatter Plots)显示,如图7所示.

表1 各发武器的飞行距离及飞行用时

表2 62个弹道交叉点的时间属性值

表3 所有武器的最优攻击时序

2)对可行解进化策略的可行性分析.

为检验算法中可行解进化策略的可行性,可按下述步骤进行实验分析.

步骤1.在算法中不加入可行解进化策略,求得可行解及最优解.将最优解定义为变量Opt01,再按可行解质量由高到低采集60组可行解作为样本,并求得这60组可行解元素的和值以及元素最大值,分别定义为变量Sum01和变量Max01.

步骤2.在算法中加入可行解进化策略,按照步骤1的采样方法,得到60组可行解样本,并求得最优解、可行解元素和值、可行解元素最大值,分别定义为变量Opt02、变量Sum02、变量Max02.

步骤3.运用IBM SPSS Statistics 19.0对上述步骤所得样本及各变量进行统计分析.

1)绘制变量Sum01与变量Max01、变量Sum02与变量Max02的重叠散点图(Overlay Scatter),用于研究两组变量之间(即可行解进化策略加入前后)的相互关系.分析结果如图8所示.

2)对变量Opt01与变量Opt02进行假设检验,用于检验可行解进化策略加入前后,两组最优解之间的差异是否具有统计学意义.本文选择的假设检验的方法是成对样本t检验,且检验水平α=0.05,检验结果如图9所示.

图9中,表示未加入可行解优化策略时,可行解元素和值与元素最大值之间的相关关系,由于集中趋势和散布范围可知,加入可行解优化策略时可行解中的最大值元素主要集中在12～14之间的区域,这反映算法求出的最后一发武器的发射时间主要集中在12min～14min之间,且最优解为11.38min.图中○表示加入可行解优化策略后,可行解元素和值与元素最大值之间的相关关系,如图所示,○主要集中在8min～10min之间的区域,且最优解为7.36min,即最后一发武器的发射时间可以压缩到7.36min.图8可以清晰反映出算法中加入可行解优化策略后,可行解及最优解的显著变化,从而验证了可行解进化策略的可行性和有效性.

图9所反映的是可行解进化策略加入前后,两组最优解之间的差异程度.如图可知,两组最优解的成对t检验统计量为2.657,所对应的差异显著性检验值P=0.013,且P＜α=0.05,因此认为两组最优解之间具有统计学意义,即加入可行解进化策略前后最优解质量有显著提升.

5 结论

本文针对多武器协同发射时序规划问题构建了数学模型,并结合问题的具体特点,设计了启发式算法进行问题求解,而后以30发武器的发射任务为算例,对模型和算法进行了验证,并对可行解进化策略的可行性进行了分析,实验结果显示,本文的模型和算法能得到满意的时序规划方案.

下一步,将从以下方面展开进一步研究:一是在模型构建中加入武器攻击角度的约束,使得模型更加贴近实际;二是在问题求解过程中,将考虑无可行解时如何给出不同约束的调整策略,使模型对决策者的支持更加智能化.

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