张晓杰,张丽娜

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州 730070)

1 引言

本文讨论如下具有prey-taxis的Holling-Tanner捕食模型

其中u,v分别表示食饵和捕食者的密度函数,a,b是其各自的内禀增长率,ru可解释为依赖于食饵的捕食者的承载能力,u/(m+u)是Holling II型功能反应函数,表示捕食者吃食饵的速率.参数a,m,b,r均为正常数.正常数d1,d2为扩散系数,χ∇(v∇u)为prey-taxis项.齐次Neumann边界条件意味着该生态系统是自我封闭的,在边界∂Ω上物种的流量为零.

模型(1.1)所对应的常微分方程系统(即(1.1)式中d1=d2=χ=0)被称为Holling-Tanner捕食模型[1],是数学家和生物学家Robert May为了能够精确地描述诸如山猫和野兔、麻雀和食雀鹰等生态系统物种间的相互作用而提出的一个新的具有Holling响应函数的模型[2],由于其重要的生物意义和特有的数学特性,该模型得到了大量的研究,如稳定的极限环、半稳定的极限环、分支、周期解等有趣的数学现象均被发现[3–5].考虑到种群密度空间分布不均匀因素,彭锐等在文献[6,7]中关注了具有扩散的Holling-Tanner捕食模型(即(1.1)式中χ=0),获得了非常数正解的存在性和不存在性的一些结果,给出了唯一的正常数平衡解全局渐近稳定的一些充分条件.

事实上,在现实生态环境中,物种的扩散往往还会受到其他物种的影响.这些物种间的相互作用可以通过交错扩散模型来描述,相应的数学模型是强耦合的非线性偏微分方程组[8,9].与仅带一般扩散的弱耦合系统相比,强耦合的系统在理论研究和数值计算两方面都存在更大的困难.模型(1.1)中prey-taxis项χ∇(v∇u)就是……