陈莉

(中国矿业大学数学系,江苏徐州 221116)

1 引言

近几十年来,为了利用图的组合结构来研究环的代数结构,人们利用环上的两种代数运算定义了多种图,如环的零因子图、交换图、全图等,这些图的定义以及部分研究结果可以参考文献[1–9]等.众所周知环的许多性质与它的理想有着密切的关系.自然地,利用环的理想构造一些图,通过研究这些图的组合性质来刻画环的理想性质有着重要的意义.文献中相关的图有互极大图、理想交图、理想包含图等,这些图的研究可以参考文献[10–13]等.

在研究与环相关的图时,许多工作致力于研究图的一些参数,比如围长、直径、团数、色数等.这些参数可以揭示图的结构性质,环的性质以及它们之间的相互关系.另外,图的自同构是代数图论中一个重要的概念,它可以揭示图的顶点之间的关系以及图的对称性.但是正如文献[14]中所说,确定一个图的非平凡自同构不是一件容易的事.通过查阅文献,我们发现对于环上这些图,有关自同构的结果很少.我们只找到有关环上零因子图自同构的几个结果.对于环R,零因子图记为Γ(R),Aut(Γ(R))表示其上的自同构群.Anderson与Livinston[1]证明了对于非素整数n≥4,Aut(Γ(Zn))是对称群的直积.对于素数p和非交换环R=Mat2(Zp),Han[15]证明了Aut(Γ(R))⋍Sp+1.Park与Han[16]证明了对于有限域Fq上的二阶矩阵环R=Mat2(Fq),Aut(Γ(R))⋍Sq+1.但是最近文献[17]得出了下面的结论:Aut(Γ(M2(Fq)))的大小是((q−1)!)(q+1)2(q+1)!,并指出上面两篇文章中的结论是不对的.文献[18]与[20]进一步给出有限域上上三角矩阵环的零因子图的自同……