郑发美

(淮阴师范学院 数学科学学院, 江苏 淮安 223300)

0 引言及预备知识

不等式在数学的许多分支有着重要的应用,丹麦数学家Jensen[1]在20世纪初建立的Jensen不等式，引起了很多学者的关注.如Kin[2]用Jensen不等式解决了一些不等式的证明, 王良成等[3]研究了几何凸函数Jensen不等式的加细问题,陈宴祥等[4]探讨了代数函数的Jensen不等式的加细与推广,江龙[5]探索了基于g-期望的关于二元函数的Jensen不等式,方逵[6]给出了二元凸函数的几个判别条件, 林玎等[7]研究了Jensen不等式的几个推论及其应用, 黄大荣等[8]给出关于Jensen积分不等式的推广, Long[9]介绍倒向随机微分方程下的Jensen 不等式;以上推广与应用主要针对一元情况,对于一些一元离散型不等式,可以通过构造一元凸函数等方法给予证明. 但对于二元及二元以上的离散型不等式较难证明.本文利用二元Jensen不等式,证明了一个重要的二元离散不等式.

下面给出Jensen不等式的二元情况[5,6]. 首先把一元凸函数及其性质平行地推广到二元情形.

定义1 设函数f(x,y)为定义在凸区域D上的二元函数,若∀(x1,y1),(x2,y2)∈D,∀μ∈(0,1),有

f(μx1+(1-μ)x2),μy1+(1-μ)y2)≤μf(x1,y1)+(1-μ)f(x2,y2),

则称函数f(x,y)为凸区域D上的二元凸函数.

引理1 设函数f(x,y)在凸区域D上有连续的一阶偏导数,那么f(x,y)是D上的凸函数的充要条件是∀(x1,y1),(x2,y2)∈D,有

由引理1, 易证下列引理

下面给出Jensen不等式的二元及二元以上情形的推广.

运用数学归纳法即可证明.

证明略.

注类似地,可以给出推广的Jensen不等式的n元形式.

1 主要结果

Hu[10]利用二元离散不等式证明了著名的Boesch定理.下面利用推广的Jensen不等式证明如……