江苏省常熟中学 朱 震

在一次复习解析几何的单元测试中有一道题目，学生的答题情况不尽人意。在讲评课上，笔者带领学生共同探讨了其解答方法。

一、原题呈现

思路一：C随A动，D随B动，所以CD的斜率必与AB有关。因此可以考虑用A、B两点坐标表示C、D两点坐标，进而用k来表示CD的斜率k1。

解：直线AM方程为：与椭圆方程联立消去y整理得该方程的两个根为

这是大多数解出此题的学生使用的方法。想法自然，处理得当。

二、探究方法

笔者在批阅时还发现了如下思路，在课上与同学们探究。

思路二：类比抛物线问题，用弦的端点坐标来表示弦所在直线方程。

∴直线AB方程为：

∵AB过F（1,0）

学生做到这里卡住了，放弃了用这一思路进行下去。笔者鼓励全体学生一起思考，看看能不能帮她一起走出来。

学生集思广益，很快得到了一个可行的方案：消元！

整理得：

由①②得 ，由①③得 。

笔者：H同学尝试将研究抛物线的常用方法迁移到椭圆中，做法很好。虽然这样的迁移不一定简单，甚至不一定有效，但这是我们研究问题的常用策略。下面请同学们一起看一下使用这一思路得到的结果，我们能发现什么？

学生：点A与点D，点B和点C都关于x轴对称，所以CD应该也经过F点，题目所给的图画错了。

笔者：对的！如果图画对了（如图），大家就容易猜到答案了。除了看到图画错了，我们还能发现什么呢？

学生：①②③式的形式一样，都是对称式。但是①式是通过AB经过F点得到的，②③式是通过直线经过M点得到的，居然会有相同的结果。

笔者：然后呢？……