吴惠仙

【摘要】矩阵是线性代数最基本的工具，也是工科专业后继课程的常用工具，但对于刚进大学校园的学生来讲是个无比抽象的概念，特别是对它的运算感觉从天而降、莫名其妙.本文从与数的运算做比较来理解矩阵的几个主要运算.

【关键词】矩阵；逆矩阵；分块矩阵

一、引言

线性代数是大学理、工、经管、医、农等学科所有专业必修的一门重要数学基础课.而矩阵是线性代数最基本的概念，也是最重要的工具.只要把矩阵的运算、矩阵的分块、矩阵的初等变换与矩阵的秩等都弄懂了，线性代数就学好了一大半.而作为一名刚进入校园的大一学生，对线性代数，感觉很是困惑，就会问教师：矩阵究竟是什么东西？矩阵的乘法规则为什么这样定义？矩阵到底有什么用？……一系列问题.我们都说“矩阵是线性空间里的变换的描述”“矩阵是线性空间里跃迁的描述”等，这些说法对大一的本科生来讲未免过于抽象.至于矩阵的应用有多广，等他们学了后继课程自然也能明白.本文主要从矩阵与实数的比较来理解矩阵的运算.

二、矩阵的运算与数的运算

我在上课时常常跟学生说，矩阵其实就是数的推广，其中一行一列的矩阵就是数.所以矩阵这个用括号括起来的数表，本身没有任何意义，只不过是个符号罢了.如同数字“1”本身也没有任何意义，但它可以表示一根粉笔、一本书、一个教室等，不同的场合有不同的含义，正因为如此，才体现出了“数”的重要性和使用的广泛性.矩阵也一样，只不过比“数”更高级一点，使用的范畴也更高深一些，中学课程用不到，但在大部分工科专业的后继课程都会有所接触.

下面我们从与数的运算做比较来理解矩阵的几个主要运算.

1.矩阵的线性运算.包括矩阵的加法与数乘运算.这两种运算很简单，加法就是两矩阵对应位置的元素相加，数乘是矩阵的每个元素都乘这个数，所以这两种运算与数的加法、乘法相比差异不大，只是量的增多而无质的变化，从而线性运算的八条运算法则也容易被学生接受.

2.矩阵的乘法.乍一看会显得很不自然，让学生们难以接受.这时我们讲完乘法定义后，需要先举几个简单的例子让学生们熟练熟练，这个乘法到底是怎么算的.顺便得到矩阵乘法不满足的几个常见的运算规则（如，交换律、消去律、含零因子，这几条在以后需要反复强调）.到这时学生们心里会更纳闷了，既然这样为什么还要这样定义乘法，像加法似的相应位置的元素相乘不是很方便？所以，接下来我们需要举几个例子说明下这样定义乘法的意义，如，前面一直出现的线性方程组用矩阵乘法怎么表示，两个线性变换的和如何用矩阵的乘法来表示，等分块矩阵讲了后更能体现矩阵乘法的便利.

3.逆矩阵运算.引进逆矩阵实质上是希望在某些方阵中可以做除法，其方法是类似数中的倒数的概念.我们做如下比较：

（1）方阵A可逆|A|≠0（数中：a有倒数a≠0）.

（2）设A为可逆矩阵（|A|≠0），且AB=0，则B=0（设a≠0，且ab=0，则b=0），即没有零因子.

（3）设A为可逆矩阵（|A|≠0），且AB=AC，则B=C（设a≠0，且ab=ac，则b=c），即消去律成立.

（4）设A为可逆矩阵（|A|≠0），则AX=B有唯一解 X=A-1B（设a≠0，则ax=b有唯一解x=a-1b），即含可逆矩阵的矩阵方程可解.

（5）设0为n阶零矩阵，E为n阶单位矩阵，则对任意n阶方阵A有A0=0A=0，AE=EA=A（对任意数a满足a0=0a=0，a1=1a=a），即零矩阵与单位矩阵在矩阵乘法中的特殊性.

注：矩阵只有逆矩阵运算而没有除法运算，因为矩阵不满足交换律，不然AB=A-1B还是AB=BA-1.

4.分块矩阵的乘法运算.分块矩阵的线性运算与转置运算很简单，重点与难点是分块矩阵的乘法.但分块矩阵的乘法非常有用，等学了向量这一章后，更能体现出矩阵分块的便利.分块矩阵的乘法关键有两点：分块前，前矩阵的列数与后矩阵的行数相同；分块后，前分块矩阵的列数与后分块矩阵的行数相同.只要满足这两个条件就可以随便分块（当然尽量为了运算方便），其中最常见的是按行分块与按列分块，因为按行或按列分块后，得到的子块是向量，就可以与后面的向量知识点相结合.

三、总结

矩阵的运算，特别是矩阵的乘法与矩阵的分块，对于大一学生来讲很难理解，但只要掌握了以上几点，对学习线性代数就能达到事半功倍的效果.

【参考文獻】

[1]陈维新.线性代数简明教程[M].第2版.北京：科学出版社，2001.

[2]苏德矿，裘哲勇.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3]胡觉亮.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2014.