方义和

【摘要】利用归纳和递推关系解决的几何中计数问题、环状染色问题等.

【关键词】归纳推理;递推数列

归纳与递推思想是一种很重要的数学思想，用它来思考解决一类与自然数n有关的问题或涉及操作次数较多的数学问题时，通过从特殊情况入手，归纳规律，寻找递推关系式并结合初始条件，使问题化难为易，化繁为简，轻松解决.

一、几何计数问题

例1平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不交于一点，试问这n条直线将该平面分成多少个部分？

分析设这n条直线将平面分成的区域个数记为an，先考查特殊情况，如下图所示：

n=1n=2n=3n=4

a1=2，a2=4，a3=7，a4=11，…从平面区域产生的过程，考查前后两次平面区域的个数知道，a2=a1+2，a3=a2+3，a4=a3+4，…事实上，当平面内已有n-1条直线将平面分成an-1个部分，再增加一条直线，因为任何两条不平行，任何三条不交于一点，所以这条直线与前面n-1条直线共有n-1交点，这n-1个交点将这条直线分成n部分，每个部分将它所在的平面一分为二，故平面的个数增加n个部分，所以本题的递推关系是an=an-1+n（n≥2且n∈N），由a2-a1=2，a3-a2=3，…，an-an-1=n，运用累加法，得an=n2+n+22.

变式1平面内有n个圆，任何两个圆恰好相交于两点，且任何三个圆不相交于同一点，求这些圆将平面分割成的区域个数.

分析与例1类似，设这n个圆将平面分成的区域个数记为an，如下图n=1，2，3，4情形可知：a1=2，a2=4，a3=8，a4=14，…当平面内已有n-1个圆将平面分成an-1个部分，再增加一个圆，这个圆与前面n-1圆共有2（n-1）交点，这2（n-1）交点将这个圆分成2（n-1）部分，每个部分将它所在的平面一分为二，故平面的个数增加2（n-1）个部分，所以递推关系为an=an-1+2（n-1），从而由递推数列的累加法可得an=n2-n+2.

n=1n=2n=3n=4

变式2空间中有n个平面，任何两个不平行，任何三个不相交于一条直线，这n个平面将空间分成多少个部分？

分析与例1类似，设这n个平面将空间分成的区域个数记为an，当n=1，2，3，4时a1=2，a2=4，a3=8，a4=14，…当空间已有n-1个平面将空间分成an-1个部分，再增加一个平面，这个平面与前面n-1平面有n-1条交线，这n-1条交线任何两条不平行，任何三条不交于一点，从而将增加的平面分成了（n-1）2+（n-1）+22个部分，每个部分将它所在的空间一分为二，故空间的个数增加（n-1）2+（n-1）+22部分，所以递推关系式为：an=an-1+（n-1）2+（n-1）+22，由递推数列的累加法可得an=n36+5n6+1.

二、环状染色问题

例2用4种颜色对圆分成的n个扇形染色，要求每个扇形染一种颜色，且相邻的扇形不同色，有多少种不同的染色方法？

分析设不同的染色方法有an种，当n=1，2，3，4时，如下图所示：

n=1n=2n=3n=4

a1=4，a2=12，a3=24，a4=84，…当圆被分成的n个扇形后，第一个扇形有4种染色方法，第二个扇形与第一个扇形不同色，有3种染色方法，第三个扇形与第二个扇形不同色，因此，也有3种染色方法…，同理，第n-1个扇形有3种染色方法，第n个扇形与第n-1个扇形不同色，有3种染色方法，此时，如果每个扇形与它前面的扇形染色不同，根据乘法原理，则共有4×3n-1种不同的染色方法，但以上染法只考虑每个扇形与它前面的扇形染色不同，而没考虑与它后面的扇形染色的情况，当第n个扇形与第1个扇形同色时，不符合要求的，这时，把第n个扇形与第1个扇形看成一个扇形，其染色方法相当于用4种颜色对n-1个扇形染色，其染色数为an-1种，因此，有an=4×3n-1-an-1（n≥3），即an-3n=-（an-1-3n-1）（n≥3），數列{an-3n}是以a2-32为首项，-1为公比的等比数列，从而有an-3n=（a2-32）（-1）n-2，∴an=3n+3×（-1）n（n≥2），故an=4（n=1），

3n+3×（-1）n-2（n≥2）.

推广（环状染色）用m种颜色对圆分成的n个扇形染色（其中m，n≥3），要求每一个扇形染一种颜色，且相邻扇形不同色，一共有an=（m-1）n+（m-1）（-1）n.（n≥3）种不同的染色方法.

（证明读者可自己完成）

练习1（如右图所示）在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，要求同一块中栽种同一种植物，相邻的两块栽种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，则有种栽种方案.

分析本题相当于推广中n=6，m=4的情况：

a6=（4-1）6+（4-1）（-1）6=732.

练习2（如下图所示）某城市中心广场建造了一个花圃，分6个部分，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽一种且相邻部分不能种同样颜色的花，有多少种不同栽种方式？

分析本题第2，3，4，5，6部分相当于一个环状染色，第一步：栽种第一部分，有4种栽种方式;第二步：环状染色，相当于推广中n=5，m=3的情况：a5=（3-1）5+（3-1）（-1）5=30，所以由乘法原理共有4×30=120种不同的栽种方式.

递推思想作为一种从有限认识无限的数学思想，是我们认识问题和解决问题的一个重要工具.而在建立递推关系遇到困难时，则可列举简单情形寻求启示，可谓是“初值试探敲门砖，构建递推见真章”.在教学中若能通过一些典型例题的教学渗透递推思想，这对优化学生的数学思维，开拓学生的解题思路，提高其分析问题和解决问题的能力大有好处.函数基本性质在数列不等式证明中应用函数基本性质在数列不等式证明中应用

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