齐斌德

一、以中国优秀传统文化为背景

中华上下五千年的文明发展历程中形成了许多优秀传统文化，高考数学命题时选择中国优秀传统文化为背景，在考查基础知识、基本思想方法的同时，可以引导考生深刻认识中华民族优秀传统文化的博大精深和源远流长.

例1   （2017年全国Ⅰ卷）如图所示，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（  ）.

A. 1 4

B. π 8

C. 1 2

D. π 4

解析  设正方形的边长为2，则圆的半径为1，正方形的面积为4，圆的面积为π，根据对称关系，黑色部分面积是圆的面积的一半，所以黑色部分的面积为 π 2 ，根据几何概型的概率计算公式，得此点取自黑色部分的概率为P= π 8 ，故选B.

赏析  本题结合中国传统文化中的瑰宝“太极图”来考查正方形的面积、圆的面积、对称关系以及几何概型的知识.学生在欣赏“太极图”优美形态的同时发现图形的对称性，在提升学生的人文底蕴的同时考查学生的读图、用图能力，直接考查了学生的直观想象这一核心素养，同时在解决问题的过程中考查了考生的数学抽象、数学建模以及数学运算这些核心素养.

例2   （2017年北京卷）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与 M N 最接近的是（  ）.（参考数据：lg3≈0.48）

A.1033 B.1053 C.1073 D.1093

解析  由M=3361得lgM=361×lg3≈361×0.48=17328，由N=1080得lgN=80，所以lg M N =lgM-lgN≈17328-80=93.28，所以 M N ≈1093.28≈1093，故选D.

赏析  本题以中华民族传统文化中的瑰宝“围棋”为背景，考查了指数、对数的运算.围棋是中国古代4大艺术“琴、棋、书、画”中的“棋”，现已列入世界非物质文化遗产领域.围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各19条直线将棋盘分成361個交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜，围棋被认为是世界上最复杂的棋盘游戏之一.近几年，“人工智能”不断发展，在2017年5月23日—5月27日举行的“人机大战”中，世界排名第一的柯洁以0 ∶ 3负于机器人ALPHAGO，在人们热议“人工智能”的同时，围棋也成为人们热议的对象.本题以围棋为背景，考查围棋的复杂度，有较强的时代气息.可以在提升考生人文底蕴的基础上让考生感受中国传统文化的博大精深，在解决该问题的过程中可以考查考生的数学抽象、数学运算等核心素养.

二、以数学史为背景

在数学发展的长河中，出现了一些流传至今的数学著作以及数学思想，这些著作和思想对数学的不断发展起着积极的推动作用，其中的很多思想和方法至今还在解决问题中发挥着重要的作用，一些经典的数学问题，像陈年老酒，历久弥香.以我国古代一些数学命题和重要思想为背景的高考试题成了传播数学文化的重要载体.

例3   （2017年全国Ⅱ卷）《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（  ）.

A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏

解析  从顶层开始往下数，每层塔的灯数构成一个公比q=2的等比数列{an}，前n项和记为Sn，由题意S7= a1（1-q7） 1-q =a1（27-1）=127a1=381，解得a1=3，故选B.

赏析  《算法统宗》是中国古代数学名著，其作者为程大位，该书是一部应用数学书，是以珠算为主要的计算工具，列有595个应用题的数字计算，都不用筹算方法，而是用珠算演算.评述了珠算规则，完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变.该书从流传的长久，广泛和深入程度来讲，是任何一部数学著作不能与其相比的.本题以《算法统宗》中的灯塔个数为背景，考查了等比数列的通项公式与求和公式，在让学生感受中国古代数学发展的辉煌成就的同时，考查学生的数学抽象、数学建模以及数学运算等核心素养.

例4   （2017年浙江卷）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6= .

解析  如图所示，单位圆内接正六边形可以看作是由6个边长为1的正三角形组成的，则其面积为6×  3  4 ×12= 3 3  2 .

赏析  “割圆术”是我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写《九章算术注》中的一片注记，是以圆内接正多边形的面积来无限逼近圆的面积，刘徽形容“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.“割圆术”在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章.本题以“割圆术”为背景考查圆内接正六边形的面积的求法，让考生在感受中国古代数学对世界数学发展所做的巨大贡献的同时，考查考生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.

三、以生产和生活实际为背景

重视数学在生产生活实际中的应用一直是落实数学新课程的重要标志，涉及生产和生活实际的数学应用问题已经成为每一年高考数学试卷的必考内容，旨在考核学生运用数学知识解决实际问题的基本素养，展现数学的科学价值和人文价值，发展学生的建模素养和创新意识，2017年高考理科试题中，以生产或生活中的实际问题为背景的试题共有18题.

例5   （2017年全国Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们4人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（  ）.

A.乙可以知道4人的成绩

B.丁可以知道4人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

解析  记成绩优秀为A，良好为B，则甲乙丙丁四人的成绩为两个A、两个B，若甲看到的成绩为AA（或BB），则甲知道自己的成绩为B（或A），而甲不知道自己的成绩，因此，乙、丙的成绩为一个A一个B，甲丁的成绩也为一个A一个B，此时乙看了丙的成绩便可以知道自己的成绩，丁看了甲的成绩便可以知道自己的成绩，因此，选择D.

赏析  本题以生活中的一个“猜成绩”的游戏为背景，选取生活中的一个场景命题，要求学生从已知的事实出发，得出相对应的结果，考查学生严谨的思维品质，同时考查学生的逻辑推理这一核心素养.

例6   （2017年上海）根据预测，某地第n个月（n∈ N *）共享单车的投放量和损失量分别为an和bn（单位：辆），其中an= 5n4+15，n∈[1，3]， -10n+470，n∈[4，+∞），  bn=n+5，第n个月的共享单车的保有量Q是前n个月的累积投放量与累积损失量的差.

（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量;

（2）已知该地区共享单车停放点第n个月底的单车容纳量（单位：辆）Sn=-（n-46）2+8 800，设在某月底，共享单车的保有量达到最大，则该保有量是否超过了此时停放点的单车容纳量.

解析  （1）Q4=（a1+a2+a3+a4）-（b1+b2+b3+b4）=20+95+420+430-（6+7+8+9）=935.

Q= 14，n=1， 102，n=2， 514，n=3， - 11 2 n2+ 919 2 n-815，n≥4，

所以當n=42时，Q取得最大值，最大值为8 782，此时S42=-（42-46）2+8 800=8 784>8 782，故当Q取得最大值时，停放点能容纳.

赏析  随着社会的不断发展，“共享经济”逐渐走进人们的日常生活并开始为人们所接受，本题以“共享单车”这一新生事物为背景，有较强的社会现实意义，考查了数列的有关知识以及函数的最值问题，考查了学生利用所学知识解决实际问题的能力，综合考查了数学抽象、数学建模以及数学运算这些核心素养.