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Hom-Jordan双代数的构造

2018-01-05刘雨琳

通化师范学院学报 2018年2期
关键词:代数线性辽宁

刘雨琳

Hom-Jordan双代数的构造

刘雨琳

研究Hom-Jordan双代数的构造.首先给出了Hom-Jordan代数的表示和配对的定义.再利用Hom-Jordan代数与其对偶空间的直和仍为Hom-Jordan代数的条件给出了构造Hom-Jordan双代数的方法.

Hom-Jordan代数;表示;配对;Hom-Jordan双代数

约当代数、李代数和交错代数被称为是三类非常重要的非结合代数.20世纪30年代物理学家P.Jordan在研究量子力学时提出了约当代数.约当代数很快作为一个独立的代数体系发展起来[1-2].近年来,Hom型代数的研究成为热点,Hom-代数结构是利用一个代数同态将代数定义中的恒等式转化得到的.起初Hom-Lie代数的定义是由Hartwig、Larsson和Silvestrov在研究Witt代数以及Virasoro代数时给出的[3],而Hom-Jordan代数的定义最早是由A.Makhlouf提出的[4].本文给出了Hom-Jordan代数的表示并进一步研究了其上的双代数结构.

1 预备知识

定义1 设(J,·,ϕJ)为Hom-Jordan代数,h为J的一个子空间.若ϕJ(h)⊆h且h关于运算“·”是封闭的,则称h是(J,·,ϕJ)的一个Hom-Jordan子代数.

定义2 设(J,·,ϕJ)为 Hom-Jordan 代数,V为线性空间,ρ∶J→End(V)为V上的线性变换,A∈End(V),若满足

其中,x,y,z∈J,则称(V,ρ,A)为(J,·,ϕJ)的表示.

命题1 设(J,·,ϕJ)为Hom-Jordan代数,V为线性空间,ρ∶J→End(V)为V上的线性变换,A∈End(V),在J⊕V上定义

其中,x,y∈J,u,v∈V,则(J⊕V,·,为ϕJ⊕A)Hom-Jordan代数⇔(V,ρ,A)为(J,·,ϕJ)的表示.

设ρ∶J→End(V),A∈End(V) ,令ρ∗∶J→End(V∗),A∗∈End(V∗),其中

命题 2 设 (J,·,ϕJ)为 Hom-Jordan 代数,(V,ρ,A)为 (J,·,ϕJ)的表示,则 (V∗,ρ∗,A∗)也为(J,·,ϕJ)的表示.⇔(V,ρ,A)满足

此时,称(V∗,ρ∗,A∗)为(V,ρ,A)的对偶表示.

推论1 设(J,·,ϕJ)为Hom-Jordan代数,则(rg∗,J∗,ϕJ∗)为(J,·,ϕJ)的表示当且仅当下面式子成立

2 Hom-Jordan代数的配对及Hom-Jordan双代数的构造

定 义 3 设 (J,·,ϕJ)和 (H,∘,ϕH)是 两 个Hom-Jordan 代 数 ,线 性 映 射ρ∶J→gl(H)是(J,·,ϕJ)的一个表示,μ∶H→gl(J)是(H,∘,ϕH)的一个表示,如果ρ,μ满足下面条件

其中,x,y,z,u∈J,a,b,c,e∈H,则称 (J,H,ρ,μ,ϕJ,ϕH)为Hom-Jordan代数的配对.

定 理 1 设 (J,·,ϕJ)和 (H,∘,ϕH)是 两 个Hom-Jordan代数,ρ∶J→gl(H)是J的一个表示,μ∶H→gl(J)是H的一个表示.在J⊕H上定义

则 (J⊕H,∗,ϕJ⊕ϕH)为 Hom-Jordan 代数 ⇔(J,H,ρ,μ,ϕJ,ϕH)为Hom-Jordan代数的配对.

定理 2 设(J,·,ϕJ)和(J*,∘,ϕJ*)是相容的

Hom-Jordan代数,则(J⊕J*,∗,ϕJ⊕ϕJ*)为Hom-Jordan代数⇔

定义4 设(J,·,ϕJ)是一个相容的Hom-Jordan代数,如果线性映射Δ∶J→J⊗J满足下面条件

1)Δ是对称的(或交换的),即Δ(x)=σ(Δ(x)),∀x∈J;

2)Δ*∶J*⊗J*→J*定义了线性空间J*上一个相容的Hom-Jordan代数结构;

3)Δ满足方程

则称该线性映射是一个Hom-Jordan双代数结构,记为(J,Δ)或(J,J*).

命题3 (J,J*)是一个Hom-Jordan双代数⇔(J,J*,rgJ,rgJ*,ϕJ,ϕJ*) 为 配 对 ⇔ (J⊕J*,Δ,ϕJ⊕ϕJ*)为Hom-Jordan代数.

The Structure of Hom-Jordan Bialgebras

LIU Yu-lin
(School of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian,Liaoning 116029,China)

In this paper,we mainly study the construction of Hom-Jordan algebras.Firstly,we give the representation and matched pair of Hom-Jordan algebra and get the condition for the dual of the representation to be a representation of Hom-Jordan algebra.Then we study the direct sum of Hom-Jordan algebra and its dual space and get the construction of Hom-Jordan bialgebras.

Hom-Jordan algebra;representation;matched pair;Hom-Jordan bialgebra

O153

A

1008-7974(2018)01-0041-06

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2018.02.012

2017-10-03

刘雨琳,女,黑龙江鸡西人,辽宁师范大学数学学院硕士研究生(辽宁 大连 116029).

[1]N Jacobson.Structure and representations of Jordan algebras arising from intermolecular recombination[J].Amer.Math.Soc.Colloq,1968,32(8):210-219.

[2]H Braun,M Koecher.Jordan Algebren[M].Berlin:Springer Verlag,1966.

[3]J Hartwig,D Larsson,S Silvestrov.Deformations of Lie algebras usingσ-derivations[J].J.Algebra,2006,36(5):314-361.

[4]A Makhlouf.Hom-alternativeandHom-Jordan algebras[J].J.Algebra,2010(8):177-190.

陈衍峰)

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