孙畅岑　齐艺　田聪　袁野　孙乔

摘 要：为实现强谐波干扰和噪声干扰等复杂应用场景下动态同步相量的精确测量，提出了一种新的相量测量算法。将两个Kaiser窗相乘实现Kaiser自乘窗设计。将一段时间内的测量结果取滑动平均以提高噪声抑制性能，并由此推导出等效加权卷积自乘窗函数用于相量测量。应用泰勒级数表示动态相量，应用最小二乘实现FIR滤波器的设计。静态和动态测试结果表明，文章提出的新算法在静态和动态条件下均具有很高的测算准确度，具备优异的抗谐波和抗噪声性能。

关键词：动态同步相量；谐波；相量测量；最小二乘法；FIR滤波器

中图分类号：TM933 文献标志码：A 文章编号：2095-2945（2018）32-0001-05

Abstract： A new phasor measurement algorithm is proposed to realize the accurate measurement of dynamic synchronized phasors in complex application scenarios such as strong harmonic interference and noise interference. The design of Kaiser self-multiplication window is realized by multiplying two Kaiser windows. Taking the measured results over a period of time as the moving average to improve the noise suppression performance， the equivalent weighted convolution self-multiplication window function is derived to be used in phasor measurement. The dynamic phasor is expressed by Taylor series， and the FIR filter is designed by least square method. The static and dynamic test results show that the new algorithm has high accuracy under both static and dynamic conditions， and has excellent anti-harmonic and anti-noise performance.

Keywords： dynamic synchronized phasor； harmonics； phasor measurement； least square method； FIR filter

引言

为实现电力系统的动态安全监测，快速发现电力系统中可能存在的故障[1]，动态同步相量（Dynamic Synchrophasor）的测量起到了重要的作用[2-4]。电气与电子工程师协会于2011年发布了修订版的IEEE C37.118.1标准[5]。该标准对不同动态条件下相量测量单元（Phasor Measurement Unit， PMU）的测量准确度提出了明确的指标。

目前，PMU被大量应用在输电网中。随着大量新能源（如光伏设施和储能装置等）接入配电网中，配电网的潮流方向从原来的单向变成双向。且这些新能源装置使配电网呈现强烈的不确定性和动态性。为了能实现配电网的实时监测，未来PMU也被考虑应用到配电网中。但由于大量电力电子装置的使用，配电网中还含有丰富的谐波、间谐波分量。而且配电网受噪声影响明显。如何在谐波和噪声含量丰富时，仍能准确地测量动态同步相量，成為一个亟须解决的问题。

文献[6-10]通过对稳态条件下的DFT及其改进算法测量相量的误差产生机理进行分析，从而对测量得到的幅值和相位进行修正。该算法具有较高的准确度，但是在动态条件下，该算法并不适用。文献[11]将动态同步相量用泰勒级数表示，并基于动态同步相量与信号之间的关系近似表示实际信号，最后通过最小二乘法求解得到同步相量。该算法原理清晰，但由于该算法在信号建模时，未考虑当信号中存在丰富的谐波和间谐波时，算法的准确度下降。针对这一问题，文献[12]在对信号建模时，将其表示成动态同步相量和指定次谐波和间谐波的叠加，以此实现该次谐波和间谐波的陷波设计。但是该方法需要提前已知谐波、间谐波的幅值、频率、相位等参数。然而，在实际情况下，这些参数均是未知的。文献[13-15]应用泰勒级数表示动态同步相量，并对该动态同步相量以及原始信号作傅里叶变换，再应用不同时刻的结果联立求解后得到同步相量。该算法在一定程度上提高了动态同步相量测量的准确度，但是该算法计算量大，且未考虑间谐波的影响。

1 Kaiser自乘窗

Kaiser窗具有良好的主瓣和旁瓣特性，适用于对动态信号进行处理[16，17]。Kaiser窗的窗函数表达式为：

其中，N为窗长，n=0，1，…，N-1。I0（·）代表第一类0阶修正贝塞尔函数。？茁为窗函数的特征系数，该参数决定了窗函数的旁瓣特性，这里取？茁=4。当信号中含有丰富的谐波和间谐波分量时，其会影响动态同步相量测量的精度。因此，在设计FIR滤波器时，需要实现旁瓣的高度抑制。本文考虑通过构造Kaiser自乘窗实现上述特性。所谓Kaiser自乘窗，是将Kaiser窗与其自身相乘，得到一个新的窗函数。

其中，n=0，1，…，N-1。容易得到，Kaiser自乘窗的窗长仍为N。图1给出了Kaiser窗和Kaiser自乘窗的幅频响应对比图。分析图1可知，Kaiser自乘窗的旁瓣衰减要明显优于Kaiser窗，这将有助于构造间谐波和谐波强抑制特性的FIR滤波器。但从图1也可以看出，Kaiser自乘窗的主瓣宽度比Kaiser窗大，从而使Kaiser自乘窗的频率分辨率降低。

2 基于Kaiser自乘窗加權的FIR滤波器设计

2.1 滤波器设计原理

动态同步相量被定义为一个频带远小于基波频率的带限信号x（t）[5]，其可以表示为

其中，n=-N，…，0，…，N，时间窗长度Nw=2N+1。这样，就实现了动态同步相量的近似表示，即x≈xk=Ek？鬃k。接着，可用最小二乘法实现参考时刻（n=0）的同步相量估计。但是当信号中含有丰富的谐波和间谐波分量时，上述方法存在较大误差。这里考虑采用Kaiser自乘窗加权的方法实现谐波和间谐波分量的抑制。即

其中，W=diag{w2（n）}。算子diag{·}表示矩阵的对角化运算。这样，？鬃k矩阵的线性估计最优解为其最小二乘估计，即

从而可得矩阵（EkHWHWEk）-1EkHWHW中，与同步相量？鬃0对应的行向量即为所设计的FIR滤波器。

2.2 增强噪声抑制性能

实际应用中，信号中还可能存在噪声。为了抑制噪声干扰，考虑对一段时间内测量得到的结果进行加权平均，即

2.3 滤波器特性分析

图2给出了矩形窗卷积Kaiser自乘窗FIR滤波器（Kaiser窗采用3阶泰勒级数，长度为4周波，矩形窗长度为1周波）和矩形窗FIR滤波器（长度为5周波）的频谱特性对比图。从图中可以看出，相对于未采用窗函数加权的FIR滤波器，矩形窗卷积Kaiser自乘窗FIR滤波器具有优异的旁瓣衰减特性，这能在很大程度上实现谐波和间谐波的抑制，从而提高谐波和间谐波含量丰富时的动态同步相量测量准确度。另外，从图中可以看出，上述滤波器在基波频率附近呈现出一种平滑特性，即在一定的频率范围内，信号的增益均为1，这正是实现带限信号动态同步相量测量的根本原理。以下将结合仿真实验说明本算法的准确性和优越性。

3 仿真测试

本文主要考察在静态和动态条件下，信号中含有丰富的谐波和间谐波时，算法在测量同步相量的准确性。本文采用相关标准中建议的总测量误差（Total Vector Error， TVE）[5]对算法的相量测量准确度进行评价。

3.1 频率偏移测试

在信号中含有丰富的谐波和间谐波的情况下，对本文提出的算法的静态性能进行测试，并与DFT算法和矩形窗FIR滤波器的性能加以比较。考虑信号中含有3次、5次、7次和120Hz的谐波和间谐波，其谐波畸变率分别为：10%、10%、5%和5%。其具体表达式如式（15）所示。

图3给出了基波频偏（额定频率为50Hz）分别为-5，-4，…，0，…，4，5Hz时，分别采用矩形窗卷积Kaiser自乘窗FIR滤波器、矩形窗FIR滤波器、DFT算法测算同步相量的最大TVE值（对40个周波的数据进行测算）。其中，信号每周波采样点数为48，滤波器长度均为239，DFT算法所采用的时间窗为5周波。从图3可以看出，在信号中含有丰富的谐波和间谐波的情况下，信号频偏在[-5 5]Hz范围内变化时，矩形窗卷积Kaiser自乘窗FIR滤波器算法测算同步相量的TVE值均小于矩形窗加权FIR滤波器算法和DFT算法。由此可以看出，即使在不同的频率偏移条件下，本文提出的新算法具有优异的抗谐波性能，而且性能远超相关标准中的指标要求。

3.2 噪声抑制性能测试

考虑对算法的噪声抑制性能进行测试，对一个频率为50Hz的正弦信号叠加信噪比分别为30、40、50、60和70dB的噪声信号，分别用矩形窗卷积Kaiser自乘窗FIR滤波器、矩形窗FIR滤波器和DFT三种算法估计相量。表1给出了应用不同算法的最大TVE值。通过表1可知，应用不同算法的测量误差均非常小，且几乎相等。因此可认为三种算法的抗噪声性能较为接近，均具有良好的抗噪声性能。

3.3 动态性能测试

本文主要考察信号中含有丰富的谐波和间谐波时，基波和各次谐波的幅值和频率（或相位）波动时算法的测算准确度。动态信号的表达式如式（16）所示，其中，a（t）=1+0.1cos（10πt），f0=50Hz，

图4、图5分别给出了不同时刻（共10个周波），采用矩形窗卷积Kaiser自乘窗FIR滤波器、矩形窗FIR滤波器、DFT算法测算得到的动态同步相量的幅值和相位（波动的频率可折算成波动的相位）值，并分别与理论值比较。从图4、图5可以看出，应用矩形窗卷积Kaiser自乘窗滤波器测算得到动态同步相量幅值和相位值与理论值基本趋于一致，而应用矩形窗FIR滤波器测算的得到的结果在理论值附近波动，应用DFT算法测算得到的结果与理论值差别较大。

图6给出了不同时刻（共10个周波），采用矩形窗卷积Kaiser自乘窗滤波器、矩形窗FIR滤波器、DFT算法测算动态同步相量时的TVE值。从图6看出，相较于矩形窗FIR滤波器和DFT算法，采用矩形窗卷积Kaiser自乘窗FIR滤波器进行测算时，其TVE值最小，且几乎为0。由此可以看出，本文提出的新算法在动态条件下仍具有优异的抗谐波性能，而且其性能远超相关标准中的指标要求。

4 结束语

本文针对实际应用复杂应用场景（如：丰富的谐波和间谐波分量），构造了一种加权卷积自乘窗，并设计了一种矩形窗卷积Kaiser自乘窗FIR滤波器。在静态和动态条件下，分别对算法的性能进行测试发现，相较于矩形窗FIR滤波器和DFT算法，采用矩形窗卷积Kaiser自乘窗FIR滤波器测算动态同步相量的误差最小，而且其性能远超相关标准中的指标要求。本文提出的新算法在静态和动态条件下均具有优异的抗谐波性能，且具有良好的抗噪声性能。

参考文献：

[1]常乃超，兰洲，甘德强，等.广域测量系统在电力系统分析及控制中的应用综述[J].电网技术，2005，29（10）：46-52.

[2]PHADKE A G， THORP J S. Synchronized Phasor Measurements and Their Applications [M]. Springer US， 2008.

[3]王茂海，趙玉江，齐霞，等.电网实际运行环境中相量测量装置性能在线评价方法[J].电力系统保护与控制，2015，43（06）：86-92.

[4]吴智利，赵庆生，陈惠英，等.低频采样下基于卡尔曼滤波的同步相量测量算法的研究[J].电力系统保护与控制，2014，42（15）：94-99.

[5]IEEE Standard for Synchrophasor Measurements for Power Systems[M]. IEEE Std C371181-2011（Revision of IEEE Std C37118-2005）. 2011：1-61.

[6]WANG M， SUN Y. A practical， precise method for frequency tracking and phasor estimation[J]. IEEE Transactions on Power Delivery， 2004，19（4）：1547-1552.

[7]王茂海，孙元章.基于DFT的电力系统相量及功率测量新算法[J].电力系统自动化，2005，29（2）：20-24.

[8]王超，汪芳宗.一种高精度的电力系统相量测量方法[J].电力系统保护与控制，2009，37（19）：36-40.

[9]张晓莉，许勇，刘慧海，等.一种提高同步相量测量装置动态性能的新算法及其测试研究[J].电力系统保护与控制，2015，43（18）：48-54.

[10]邵璞，赵庆生，郭贺宏，等.全相位-混合基FFT在相量测量装置中的实现[J].电力系统保护与控制，2016，44（20）：65-69.

[11]PLATAS-GARZA M A， PLATAS-GARZA J， SERNA J A D L O. Dynamic Phasor and Frequency Estimates Through Maximally Flat Differentiators [J]. Instrumentation & Measurement IEEE Transactions on， 2010，59（7）：1803-11.

[12]汪芙平，靳夏宁，王赞基.实现动态相量测量的FIR数字滤波器最优设计[J].中国电机工程学报，2014，34（15）：2388-2395.

[13]MAI R K， HE Z Y， FU L，等.A Dynamic Synchrophasor Estimation Algorithm for Online Application [J]. Power Delivery IEEE Transactions on， 2010，25（2）：570-578.

[14]麦瑞坤，何文，何正友，等.滤除衰减直流分量的动态同步相量测量算法[J].中国电机工程学报，2010，30（31）：123-129.

[15]麦瑞坤，何正友，薄志谦，等.动态条件下的同步相量测量算法的研究[J].中国电机工程学报，2009，29（10）：52-58.

[16]KAISER J F. Nonrecursive Digital Filter Design Using the Io-sinh Window Function； proceedings of the IEEE International Symposium on Circuits & Systems， F， 1977 [C].

[17]高云鹏，滕召胜，温和，等.凯塞窗插值FFT的电力谐波分析与应用[J].中国电机工程学报，2010，30（4）：43-48.