许德胜

（上海同豪土木工程咨询有限公司，上海市 200092）

组合梁桥徐变分析的超级单元法

许德胜

（上海同豪土木工程咨询有限公司，上海市 200092）

基于多轴应力状态下的粘弹性本构关系，提出了钢-混凝土组合梁桥徐变分析的超级元法。采用广义Maxwell模型描述混凝土徐变行为，利用超级元法缩减分析规模，并通过Newton-Raphson迭代方法求解结构徐变响应。以两跨钢-混凝土连续梁桥为例分析了徐变对结构的影响，可供相关工程设计和实践参考。

徐变；组合梁桥；粘弹性；超级单元；广义Maxwell模型

0 引言

钢-混凝土组合梁桥充分发挥了钢、混凝土两种材料的受力性能，已在桥梁工程中得到广泛应用。混凝土徐变会使组合梁挠度随时间不断增大，并导致钢梁与混凝土板间的应力重分布，对钢-混凝土组合梁桥的徐变进行研究具有重要意义。

徐变效应的准确预测依赖于对徐变机理的准确描述。Ichinose等和Guedes等采用Kelvin粘弹性模型对轴压状态下混凝土徐变做了研究[1,2]。Diab等和Jo等分别基于广义Maxwell粘弹性模型研究了混凝土的长期性能[3,4]。Kwak等基于应变协调条件，采用Dirichlet级数表达的徐变模型研究了组合梁桥的徐变响应[5]。程晓东等采用三参数粘弹性模型分析了钢-混凝土组合梁桥的徐变效应[6]。需要指出，Kelvin模型不能考虑混凝土的瞬时变形，而Maxwell模型不能模拟其长期变形。可同时考虑混凝土瞬时和长期变形的最简单模型为三参数模型和线性固体模型，但该类模型因采用单一松弛时间，在混凝土的整个徐变时间内与实验数据吻合的能力并不好[7]。此外，多数研究[1-5]都基于单轴应力状态下的粘弹性本构关系，无法考虑混凝土的三维应力状态。基于广义Maxwell粘弹性模型，采用实体单元分析可在理论上克服上述缺陷，但考虑到庞大的计算量，难以在实际工程中应用。

本文基于三维粘弹性理论，采用广义Maxwell模型，构造了考虑混凝土徐变的超级元模型，并将该模型用于两跨钢-混凝土组合梁桥的徐变分析。

1 混凝土徐变的增量本构关系

本文采用广义Maxwell模型模拟混凝土徐变，见图1。其中，每个支路可采用长短不同的松弛时间，以准确模拟混凝土的徐变历程。根据应力松弛试验下的Laplace变换和Laplace逆变换可得单轴应力状态下的松弛模量，

图1 广义Maxwell模型

式中：τi=ηi/ki为第i个支路的松弛时间。

利用Boltzmann叠加原理，由式（1）可得单轴应力状态下混凝土的积分型本构关系：

考虑到Laplace变换只影响时间参数，可将上面的本构关系直接推广到多轴应力状态：

式中：Sij和eij为应力偏量和应变偏量；σm和εm为平均应力和平均应变；Gi和Ki为剪切模量和体积模量相关的材料常数，可根据试验或规范给出的徐变系数确定。

将式（3）的时间变量进行离散，记时间分点为0=t0＜t1＜tn＜tn+1＜…，为求算由整个应变历史所描述的积分项，可由前一时刻tn的解答递推得到当前时刻tn+1的解答[8]。此时，需要将混凝土多轴应力状态下的本构关系表达为增量形式，即

式中：时间步长Δtn=tn+1-tn。

2 考虑徐变的超级单元列式

为缩减组合梁桥徐变分析的空间离散规模，本文将述模型引入基于二次等参映射方法和非协调元理论构造的超级单元。

超级单元有八个节点，并可以含有多个积分子域，不同子域代表不同的材料或构件。单元子域的局部坐标系见图2。

则局部坐标系和整体坐标系下的位移转换矩阵可表达为：

式中：lx′，mx′，nx′分别为 x′轴与整体坐标轴x,y,z的夹角余弦，其余符号含义相似。

记单元内任意点的整体坐标为x={x,y,z}T，对应的自然坐标为ξ={ξ，n，ζ}T，在子域对应的母单元中的坐标为ξ′={ξ′，η′，ζ′}T，则 x 与ξ间的等参变换可定义为初次等参变换，ξ与ξ′间的变换为第二次等参变换，见图3。

图3 超级单元等参映射

则存在：

为改善超级元各子域的变形并采用完全三维的本构关系，为每个子域局部坐标系下的位移分量附加下述非协调位移[9]：

利用式（5）将式（7）中局部坐标系下的位移转换到整体坐标系中，可得第k个子域的切线刚度矩阵：

式中：m为超级元所包含的子域数。

将式（9）中的单元刚度矩阵组集，可得整个离散系统的切线刚度矩阵KT，用Newton-Raphson法求解混凝土徐变这类非线性问题时可采用下述迭代格式：

式中：k=0，1，2，…，上标（k）表示第 k 个迭代步对应的物理量；F为外力等效节点力为第k个迭代步的内力等效节点力。式（10a）的右端代表残差，表征迭代过程中的不平衡量，可作为迭代收敛的依据。

3 钢-混凝土组合梁桥的徐变分析

本节将利用Kwak等的两跨钢-混凝土组合梁，阐述超级元法在钢-混凝土组合梁桥徐变分析中的应用。

钢-混凝土组合梁桥的几何尺寸见图4，荷载q由表1中各项荷载分量确定。

图4 两跨连续组合梁桥 (单位：cm)

表1 组合梁桥荷载条件 kN/m

组合梁桥的材料性质参数取值见表2，考虑到Kwak等分析时采用了ACI徐变模型，本文采用4个Maxwell支路对ACI模型的徐变系数进行非线性最小二乘拟合，确定的模型参数见表3。为便于分析，将钢材视为各Maxwell支路的剪切模量和体积模量均为零的特殊粘弹性材料。

表2 组合梁桥材料性质参数

表3 广义Maxwell模型材料参数

将图4中的连续梁在纵向每2 m划分1个单元，在横向划分2个单元，见图5。其中，混凝土板采用仅含1个子域的超级元划分；工字钢梁采用含有5个子域的超级元划分，但其中2个空子域不参与刚度矩阵计算。整个系统共划分了40个单元和126个节点(含虚拟节点)。徐变分析中，取等时间步长1.0 d，计算开始加载后1 000 d内混凝土徐变效应。为考查本文方法的计算精度，还采用ABAQUS程序分析了该问题。需要指出，为能够准确描述钢-混凝土组合截面的几何形状，采用ABAQUS三维实体单元分析时至少需划分504个节点和240个单元。

图5 有限元网格

表4 跨中（x=10 m）测点A挠度 mm

表4给出了不同时间跨中位置测点A的挠度变化。不难看出，超级元法仅需1/4的系统自由度即可获得与ABAQUS程序接近的解答（误差3%以内），证实了本文方法的可靠性和有效性。

图6给出了不同龄期沿梁轴线x方向的挠度变化；因未考虑混凝土的收缩变形，挠度计算值要比Kwak等的解答略小。图7为混凝土徐变导致的跨中位置B、C测点的轴向应力变化。徐变引起钢-混凝土间的应力重分布，导致钢梁应力增长和混凝土板应力下降。

图6 挠度随时间的变化

图7 轴向应力随时间的变化

4 结论

（1）本文基于三维粘弹性理论，采用广义Maxwell模型考虑混凝土的徐变特性。相对于具有单一松弛时间的粘弹性模型，广义Maxwell模型可以更好地反映混凝土的徐变规律。

（2）超级元法允许单个单元内含有不同的材料和构件，缩减了徐变分析中空间离散所需的计算量，提高了计算效率。

（3）类似于对ACI徐变模型的模拟，可采用广义Maxwell模型对《预应力混凝土桥涵设计规范》(JTG D62-2004)给出的混凝土徐变系数进行非线性最小二乘拟合，使本文方法可直接按04规范要求分析混凝土桥梁的徐变效应。进一步研究表明，通常仅需3-4个Maxwell支路即可很好地拟合04规范给出的徐变系数。

[1]Ichinose L H,Watanabe E,Nakai H.An experimental study on creep of concrete filled steel pipes[J].Journal of Constructional Steel Research,2001,57(4):453-466.

[2]Guedes R M,Tavares C M L,Ferreira A J M.Experimental and theoretical study of the creep behavior of GFRP-reinforced polymer concrete [J].Composites Science and Technology,2004,64(9):1251-1259.

[3]Diab H,Wu Z.A linear viscoelastic model for interfacial long-term behavior of FRP-concrete interface[J].Composites,Part B:Engineering,2008,39(4):722-730.

[4]Jo B W,Tae G H,Kim C H.Uniaxial creep behavior and prediction of recycled-PET polymer concrete[J].Construction and Building Materials,2007,21(7):1552-1559.

[5]Kwak H G,Seo Y J.Long-term behavior of composite girder bridges[J].Computers&Structures,2000(74):583-599.

[6]Cheng X D,Cheng L S,Ye G R.Creep Analysis of steel-concrete compositegirderbridgesbythemethod 3D-VLE[J].Chinese Journal of Computational Mechanics,2006,23(4):470-475.

[7]Roylance D.Engineering viscoelasticity[M].Massachusetts Institute of Technology Cambridge,2001.

[8]Zenkiewicz O C,Taylor R L.The finite element method[M].McGraw-Hill,New York,2005.

[9]许德胜,凌道盛,肖汝诚,等.八节点非协调实体板单元[J].计算力学学报,2009,26(2):264-269.

U442

A

1009-7716（2017）12-0040-04

10.16799/j.cnki.csdqyfh.2017.12.012

2017-06-30

许德胜(1979-)，男，山东东营人，工程师，从事桥梁结构分析理论研究与结构分析软件研发工作。