何正文

(广东省肇庆市百花中学526000)

Δ法在圆锥曲线存在轴对称点的应用

何正文

(广东省肇庆市百花中学526000)

本文就判别式法在圆锥曲线中轴对称问题的应用加以论证，并得出若干结论，优化解题.

圆锥曲线；轴对称；判别式法

圆锥曲线上存在不同的两点关于直线成轴对称，求直线或圆锥曲线中参数的取值范围，Δ法是轴对称中求解综合性强且处理灵活多样的方法.

一、问题的提出

A2b2-B2a2>0或A2B2(a2+b2)2+(A2b2-B2a2)C2<0. ①

二、问题的证明

证明(必要性)若双曲线上存在两个不同的点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)关于直线l对称，则可设直线方程为

Bx-Ay+T=0，②

其中T为待定系数，将方程②与双曲线的方程联立并消去y得

(B2a2-A2b2)x2+2BTa2x+T2a2+A2a2b2=0.③

∵直线②不会与双曲线的渐近线平行，∴B2a2-A2b2≠0，

又P1、P2是双曲线上不同的两点，因而Δ>0

∴ (2BTa2)2-4(B2a2-A2b2)(T2a2+A2a2b2)>0

整理得A2b2-B2a2+T2>0.④

由此解得

将上式代入④得

(A2b2-B2a2)[A2B2(a2+b2)2+(A2b2-B2a2)C2]>0,

∴A2b2-B2a2>0

或A2B2(a2+b2)2+(A2b2-B2a2)C2<0.

(充分性)若①式成立，由必要性的证明知直线l的垂线

与双曲线有两个不同的交点P1和P2，且线段P1P2的中点在直线l上，即双曲线上存在两个不同的点P1和P2关于直线l对称.

说明(1)由③式可以看出，当A2b2-B2a2>0时，关于l对称的两点分别在两支上；当A2B2(a2+b2)2+(A2b2-B2a2)C2<0时，必有A2b2-B2a2<0，关于l对称的两点在同一支上.

(2)当A或B中有一个为零时，很容易直接判断.

三、问题的类比

类比定理1的“Δ法”的证明过程，对于椭圆和抛物线有以下结论：

定理3 抛物线y2=2px(p≠0)上存在两个不同的点关于直线Ax+By+C=0(AB≠0)对称的充要条件为pA(pA3+2pAB2+2B2C)<0.

定理4 抛物线x2=2py(p≠0)上存在两个不同的点关于直线Ax+By+C=0(AB≠0)对称的充要条件为pB(pB3+2pA2B+2A2C)<0.

说明： (1)以上三个定理也可利用点所在的圆锥曲线的区域证明；

(2)当二次曲线的方程不是标准式时，可通过坐标变换化为标准式.

四、定理的运用

(1)双曲线的两支上分别有一点关于直线对称；

(2)双曲线的同支上有不同的两点关于直线对称.

解(1)由定理1得3k2-4>0，解得k的取值范围为(-,-)∪(,+).

解：∵A2B2(a2-b2)2-(A2b2+B2a2)C2=4(16-12)2-(48+16)=0，

∴由定理2椭圆上不存在关于直线l对称的相异两点.

解若线段AB与x轴平行，则x0=0，所证成立；

例4 抛物线y=ax2-1上有两个不同的点关于直线x+y=0对称，求a的取值范围.

[1]单墫，等.普通高中课程标准实验教科书必修1[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2005.

G632

A

1008-0333(2017)31-0009-02

2017-07-01

何正文，男，肇庆市百花中学，大学本科，中学二级教师，从事班主任及数学教学工作.

杨惠民]