文 /吴胜奎

相似中的数学思想

文 /吴胜奎

数学思想是数学知识的精髓.数学方法是数学思想的具体体现，是学习和运用数学知识解决问题的工具.现把相似中常见的数学思想归纳总结如下.

一、化归与转化思想

例 1如图1，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．求证：PT2=PA·PB.

图1

证明：连接OT，AT.

∵PT是⊙O的切线，∴PT⊥OT，

∴∠PTO=90°，∴∠PTA+∠OTA=90°，

∵AB是直径，

∴∠ATB=90°，∴∠TAB+∠B=90°，

∵OT=OA，∴∠OAT=∠OTA，∴∠PTA=∠B，

在△PTA和△PBT中，

∵∠P=∠P，∠PTA=∠B，∴△PTA∽△PBT，

温馨小提示：把证明线段成比例转化为证明两个三角形相似.这是处理比例线段最常见的方法.

二、分类讨论思想

例 2 在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．

温馨小提示：分类要注意：一是正确选择分类标准；二是分类要科学，既不重复又不遗漏.

三、方程和函数思想

例3一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图2，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．

（1）求证：△AEF∽△ABC；

（2）求这个正方形零件的边长；

（3）如果把它加工成矩形零件，如图3，问这个矩形的最大面积是多少？

图2

图3

解：（1）∵四边形EGHF为矩形，∴BC∥EF，

∴△AEF∽△ABC.

（2）设正方形零件的边长为xmm，则KD=EF=x，AK=80-x，

∵△AEF∽△ABC，

答：正方形零件的边长为48mm．

（3）如图3，设EF=x，EG=y，∵△AEF∽△ABC，

当x=60时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm2．

温馨小提示：利用相似三角形的知识，构造出方程或函数，通过解方程或利用二次函数的性质求解.

王二喜