小五

说起概率，大家都略知一二。太阳从东边升起的概率是1，妈妈允许我们通宵看电视、打游戏的概率是0。但你知道吗，概率有时候会变成最容易迷惑人的障眼法，甚至还可能引起纠纷……

概率法庭审判

玛丽买完东西，沿着一条小巷回家。在一个拐弯处，她忽然被推倒在地。她不知道是谁推倒了自己，在晕眩和疼痛中，她只知道是一个年轻女孩抢走了自己的包：“那是一个扎着马尾辫、有着金黄色长发的女孩，她的皮肤很白。”

而抢劫案发生时，小巷尽头的约翰正在屋前给草坪浇水。据他回忆，他听到了一阵尖叫声，看到一个年轻女孩从小巷里跑出来，跳上了一辆黄色小汽车。虽然没看清女孩的长相，但他看清了汽车驾驶者的模样：“那是一个皮肤很黑的男人，留着短短的络腮胡子。”

几天后，警察在附近搜查发现一对夫妇的长相，跟玛丽和约翰所描述的非常相似，并且他们也有一辆黄色小汽车。于是，这对夫妇被认定为嫌疑人。

在法庭上，法官发现没有证据能证明这对夫妇就是抢劫犯。这时候，一位自认精通概率学的检察官登场了。他给出了这样一份表格：

“我们知道，”这位检察官说，“求独立事件同时发生的概率要用乘法。那么，要找出一对符合描述的夫妇的概率就是1/20×1/5×1/5×1/3×1/5×1/4×1/4×1/4×1/8=1/3840000。而我们小镇只有120万人，所以他们一定是搶劫犯！”

陪审团成员纷纷点头。眼看这对夫妇就要被定罪，他们的律师挺身而出：“我反对！这个算法是错的。”

“这些事件并不是完全独立的，不能简单地用乘法计算概率。比如，头发较长的人更有可能会将头发扎起，她扎马尾辫的概率远大于；而白皮肤的人更有可能拥有金黄色头发；留胡子的男性则更有可能留有短短的络腮胡子。”律师停顿了一下，继续说，“用概率办案，正确的做法是先找出所有符合描述的人。假设有5对这样的夫妇，那么法庭上站着的这对是抢劫犯的概率就是。现在你们还不能确定作案的两个人是夫妻，那么符合描述的嫌疑人就更多了。”

多亏了这位真正了解概率的律师，最终法庭推翻了对这对夫妇的指控。

彩票抽奖程序

中了奖却不去领，这看起来不太可能发生的事情却时常发生。在某市，因为无人认领的奖金实在是太多了，于是彩票管理部门决定将这些奖金换成奖品回馈给彩民。他们购买了500辆小汽车，然后编写了一个计算机程序，准备从240万个彩票订户号码（购买彩票时独一无二的凭证）中随机抽取荣获小汽车的幸运儿，以便决定奖品的归属。

电脑随机抽取了500次，每次一个彩票订户号码。抽奖很快就完成了，结果却让所有人大吃一惊：有一个人获得了两辆小汽车，他的彩票订户号码被抽中了两次！这到底是怎么回事呢？难道程序员跟那位中奖者之间存在秘密勾结？

其实，这个问题等价于这样的生日问题：要使一群人中有2个人在同一天生日的概率大于50%，那么这群人至少应该有多少人？

一年按365天推算，大部分人觉得这群人至少应该有182人。但实际上因为没有说明是哪两个人的生日应该相同，我们可以有非常多的组合，因此答案是23人。具体推算如下：

第一个人的生日是 365选365，

第二个人的生日是 365选364，

第三个人的生日是 365选363，

……

第n个人的生日是 365选365-（n-1）。

那么，n个人中至少有2个人生日相同的概率就是：

1-365×365×…×365-n+1/365

而当n=23时，概率约为0.507。

数学家们计算后发现，在彩票事件中，出现这种“一人被抽中两次”的概率大约是5%。虽然概率不大，但并没有小到能让人忽略不计的地步。

赌金分配问题

汤姆和塞缪尔正进行一场抛掷色子比赛：单数是汤姆赢，双数是塞缪尔赢。两人各出12枚金币，率先赢得6局的人可以获得全部赌金。

这是一个公平的游戏，因为他们获胜的概率都是50%。但意外发生了：汤姆以5∶3领先，这时色子却不小心滚入下水道，比赛被迫中止。随后，两人就为如何分配赌金争吵了起来。

塞缪尔抱起自己的金币：“游戏还没结束，所以大家拿回各自的金币。”汤姆阻止说：“不行！我赢的概率大一些，我应该分得更多金币。”

两人意见不合，该怎么解决这场纠纷呢？

数学家帕西欧里认为，应该按已赢得的局数比例分配，汤姆分得15枚金币，塞缪尔分得9枚金币。但数学家费马不同意。假设目前是1∶0，那么汤姆就可以拿走全部金币，这显然是不公平的。他认为分配需要考虑两人要获胜还需要的局数（汤姆差1局，塞缪尔差3局）。

如果色子没落入下水道，游戏会继续下去，那么我们就能得到这样的结果：

由上表可知，塞缪尔在连赢三局的情况下才会获胜，概率只有。所以，金币应该按7∶1的比例进行分配。也就是说，汤姆分得21枚金币，塞缪尔分得3枚金币。endprint