李莉莉， 罗静文， 刘 晨

(辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029)

基于误差反馈的一类切换时滞系统的输出调节问题

李莉莉， 罗静文， 刘 晨

(辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029)

基于平均驻留时间方法，通过设计误差反馈控制器，讨论一类带有时变时滞的切换系统的输出调节问题.采用非共同坐标变换代替共同坐标变换，突破现有结果中要求调节器方程组存在共同解的限制.当控制系统和外部系统的状态均未知时，仅用误差信息设计控制器，同时设计满足平均驻留时间条件的切换规则.结合Finsler引理和詹森积分不等式，以线性矩阵不等式的形式给出确保输出调节问题可解的充分条件.此外，外部系统是切换系统.最后，用仿真例子说明结果的有效性.

切换时滞系统;输出调节;非共同坐标变换;平均驻留时间

输出调节问题是控制理论当中的一个重要课题，是指在系统受到非期望扰动下，设计反馈控制律，在确保闭环系统有界稳定前提下，使输出渐近跟踪一类预先设定的轨道集.对于非切换线性系统的输出调节问题，文献[1]提出了重要的内模原理，文献[2]提出了中心流形定理，随后相关研究成果不断涌现.对于切换系统，文献[3]利用多Lyapunov函数方法讨论了离散线性切换系统的输出调节问题.文献[4]仅利用误差信息设计切换信号和控制器解决离散切换系统的输出调节问题.文献[5]采用非共同坐标变换代替共同坐标变换研究线性切换系统的输出调节问题.文献[6]通过构造分段Lyapunov函数方法，讨论了多时滞切换随机系统的无源输出调节问题.到目前为止，基于非共同坐标变换的切换时滞系统输出调节问题的研究成果尚不多见.

1 问题描述与预备知识

考虑如下形式的一类切换时滞系统:

(1)

(2)

(3)

为了考虑系统(1)的输出调节问题,做如下假设:

2 误差反馈输出调节问题

下面给出系统(1)在误差反馈控制器(2)下的输出调节问题可解的充分条件.

(4)

(5)

并且系统(1)有非共同坐标变换

(6)

μ=μ0·μ1,μ1=

λmax(·)表示矩阵最大特征值.

证构造如下Lyapunov泛函

(7)

根据式(6),则闭环系统(3)重新写为

(8)

其中，

式(4)可以重新改写成

ϑi11=(-1/h)e-α hRi+αPi+Qi+Zi,

ϑi12=Pi, ϑi13=(1/h)e-α hRi, ϑi14=0, ϑi15=0, ϑi16=0,

ϑi22=hRi, ϑi23=0, ϑi24=0, ϑi25=0, ϑi26=0,

ϑi33=-(1-d)e-α hQi-(1/h)e-α hRi, ϑi34=0, ϑi35=0, ϑi36=0,

ϑi44=-e-α hZi, ϑi45=0, ϑi46=0, ϑi55=-e-α hWi, ϑi56=0，

定义

类似地有,

再由k=Nσ(t0,t)≤(t-t0)/τa易知当ω(t)=0时,系统(1)指数稳定.当ω(t)≠0时, 由中心流形定理[2]有存在m1>0,c1>0使得

注1令

φi1=-(1/h)e-α hRi11+αPi11+Qi11+Zi11+Ei11Ai+XiCi,πi25=0,πi26=0,πi35=0,πi45=0,

3 数值例子

例1考虑含有2个子系统的切换系统,其中,

取满足假设1的参数α=0.65,h=0.5,d=0.4,μ0=1.109,μ1=1.96,μ=2.173 6,和矩阵

图1 切换信号Fig.1 The switching signal

图2 闭环系统的状态响应和误差Fig.2 The states and errors of closed-loop systems

4 结 论

基于平均驻留时间方法，构造非共坐标变换，研究了一类切换时滞系统的输出调节问题.结合Finsler引理，设计误差反馈控制器，以线性矩阵不等式的形式给出了问题可解的充分条件.

[1] FRANCIS B A，WONHAM W M.The internal model principle of control theory[J].Automatica，1976，12(5):457-465.

[2] ISIDORI A，BYRNES C I.Output regulation of nonlinear systems[J].IEEE T Auto Contr，1990，35(2):131-140.

[3] 宋政一，聂宏，赵军.线性离散切换系统的输出调节问题[J].控制与决策，2006，21(11):1249-1253.

[4] LI J，ZHAO J.Output regulation for switched discrete time linear via error feedback:an output error dependent switching method[J].IET Control Theory & Applications，2014，8(10):847-854.

[5] DONG X X，SUN X M，ZHAO J，et al.Output regulation for switched linear systems with different coordinate transformations[C].Ukacc International Conference on Control.2012:92-95.

[6] 李莉莉，苑春波，史宁宁，等.一类多时滞切换随机系统的无源输出调节问题[J].辽宁师范大学学报(自然科学版)，2017，40(1):6-13.

Outputregulationproblemforaclassofswitcheddelaysystemsviaerrorfeedback

LILili，LUOJingwen,LIUChen

(School of Mathematics， Liaoning Normal University， Dalian 116029， China)

Based on the average dwell time method， the output regulation problem of switched systems with time-varying delay is discussed by designing the error feedback controller.The different coordinate transformations are adopted instead of the common one to breakthrough the limitation of the existence of a common solution for the regulator equations in the existing results.In the case the states of both the controlled system and exosystem are unavailable，only the error information is employed to design controllers，and switching rules satisfying the average dwell time condition are co-designed.By combining the Finsler lemma and Jensen’s integral inequality，sufficient conditions for the solvability of the output regulation problem are given in the form of linear matrix inequalities.In addition，exosystem is a switched system.Finally，an example is introduced to illustrate the validity of the results.

switched delay system；output regulation；different coordinate transformation；average dwell time

TP273

A

2017-07-25

国家自然科学基金资助项目(61304056);大连市高层次人才创新支持计划项目(2016RQ049)

李莉莉(1982- ),女，辽宁大连人,辽宁师范大学副教授,博士.

1000-1735(2017)04-0445-06

10.11679/lsxblk2017040445