韩英豪， 田雨嘉， 刘 爽， 杨玉彤

(辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029)

具有分数阶阻尼的波动方程的吸引子的正则性

韩英豪， 田雨嘉， 刘 爽， 杨玉彤

(辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029)

研究了具有分数阶衰减项的半线性波动方程解的渐近正则性.当非线性项满足临界增长率时，韩英豪等人证明了上述方程相关联的半群在相空间H0中具有整体吸引子A.对外力项f和非线性项φ附加一些条件下可以证明上述半群在相空间H1中具有整体吸引子A1．显然，A1⊆A.如果可以证明A是H1的有界集，那么由整体吸引子的极大性，反过来的包含关系就成立．但一般情况下，仅仅假设f∈H-1(Ω)，不能证明A在H1中的有界性．对f和φ施加适当的假设条件下证明了A在H1中的有界性．

渐近正则性；分数阶衰减；半线性波动方程

研究如下具有分数阶衰减项的半线性波动方程的渐近正则性：

utt+ω(-Δ)θut-Δu+φ(u)=f,x∈Ω,t≥0.

(1)

其中，Ω⊂3是有界立方体．即，存在L1,L2,L3>0，使得而θ∈(0,1],ω>0是给定参数．未知函数u=u(x,t)满足初始条件

u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),x∈Ω

和周期边界条件

其中，Γj=Γ∩{xj=0},Γj+3=Γ∩{xj=Lj},j=1,2,3,f为外力项，φ为非线性项．

对此类方程有一些学者进行过研究．在文献[1]中对上述方程研究了局部解的存在性，在文献[2-3]中研究了渐近行为，在文献[4-6]中证明了吸引子的存在性．

文献[4]中对外力项f(x)给出了如下条件:

f(x)∈H-1(Ω).

(2)

对非线性项φ∈C()给出了如下条件：

存在c>0,对任意r,s∈，满足

|φ(r)-φ(s)|≤c|r-s|(1+|r|ρ+|s|ρ).

(3)

(4)

不失一般性，不妨设γ≥3.由条件(4)可推得，存在α<λ1满足

φ1(r)r≥-αr2-c, ∀r∈.

(5)

在以上假设条件下对方程(1)有如下结论.

定理1[4]对于任意ω>0,半群S(t)拥有一个连通的整体吸引子A=A(ω)⊂H0.

另外，还可以得到如下渐近衰减性结论.

推……