赵元博，齐 辉，丁晓浩，赵栋栋

SH波作用下地表软覆盖层中圆形夹杂的动应力分析＊

赵元博，齐 辉，丁晓浩，赵栋栋

（哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院，黑龙江 哈尔滨150001）

利用复变函数法和波函数展开法，对地表软覆盖层中浅埋圆形夹杂在稳态SH波作用下的动应力集中问题进行研究并给出了解析解。根据SH波散射时的衰减特性，采用了大圆弧假定的方法，将半空间覆盖层直线边界问题转化为曲面边界问题。通过算例分析了SH波垂直入射时，不同入射波波数和圆夹杂与半空间的波数比对圆形夹杂周边动应力集中因子的分布和动应力集中因子最大值变化的影响。算例表明，圆形夹杂越“软”，其波数越大，夹杂周边的动应力集中因子越大；入射波波数约0.35时，夹杂周边的最大动应力集中因子达到最大值。

SH波散射；地表软覆盖层；圆形夹杂；大圆弧假设；动应力集中因子

针对结构的抗震研究发展了大量的分析方法，其中，波动法不单独研究分析荷载，而是将介质与结构作为一个整体加以分析研究，求解波动场与应力场［1］。20世纪70年代，Y.H.Pao等［2］利用波函数展开法研究了不同形状物体在稳态和瞬态应力荷载下的动应力集中问题。D.Liu等［3］将复变函数法拓展到动态应力集中问题，H.Qi等［4－5］将其扩展到半空间界面、双向介质内圆孔、夹杂等方面。V.W.Lee等［6］采用大圆弧假定方法将直边界问题转为曲边界问题，给出了半空间中单个圆孔对P波、SV波散射的解析解。D.N.Chen等［7－8］进一步研究了地表覆盖层对半空间内单、多个圆孔、圆夹杂受平面SH波作用时的散射和动应力集中因子的影响。本文中利用大圆弧法对地表软覆盖层中单个圆形夹杂在SH波作用下的动应力集中问题进行研究。

1 理论分析

1.1 问题模型

地表软覆盖层中含有单个圆夹杂的问题模型如图1（a）所示。半空间为区域Ⅰ，覆盖层为区域Ⅱ，厚度为h，上、下边界分别为TU和TD。夹杂为区域Ⅲ，边界为TC，半径为r。各区域的密度、剪切模量、SH 波波数分别为ρ1，G1，k1，ρ2，G2，k2，ρ3，G3，k3，下标代表区域范围。采用大圆弧法，将TU和TD用半径极大的同心圆弧近似，以圆杂圆心为原点，平行于的直线为X2轴建立直角坐标系X2O2Y2，以大圆弧圆心为原点O1建立直角坐标系X1O1Y1，使Y1轴和Y2轴在同一直线上。O2距TU的距离为h1，距TD的距离为h2。SH波在区域Ⅰ中以入射角α0入射（X1轴逆时针旋转至入射方向）。引入复变函数zS＝XS＋i YS，其中S＝1，2，建立复平面（z1，z－1）和（z2，z－

2），直角坐标系X1O1Y1和X2O2Y2分别对应复平面（z1，z－1）和（z2，z－

2）。各量的变换关系如下：

半空间中含有单个圆形孔洞的问题模型如图1（b）所示。当图1（a）中区域Ⅰ和区域Ⅱ的各参数均相同时，半空间和覆盖层融为一体，覆盖层下边界TD不存在。当图1（a）中区域Ⅲ的参数ρ3和G3均为0时，圆形夹杂变为圆形孔洞，此时图1（a）所示问题退化为图1（b）所示问题。

1.2 控制方程

本文中研究SH波的散射问题。在直角坐标系X－Y平面内，SH 波产生的位移场表示为W（X，Y，t），该位移场与Z 轴无关，且垂直于X－Y 平面。对于稳态问题，位移场W（X，Y，t）需要满足以下Helmholtz方程：

式中：位移场W（X，Y，t）与时间t的依赖关系为exp（－iωt），由于本文中研究稳态问题，因此在以下的分析中略去exp（－iωt）。k＝ω／c；其中ω 为位移场W（X，Y，t）的圆频率；c为波速，c2＝G／ρ。

在复平面极坐标系下，应力应变关系表示为：

1.3 入射波场、散射波场及相应应力

在（z1，z－1）平面内，入射波W（Ⅰ），在区域Ⅰ和区域Ⅱ内产生的散射波场 W（S1）、W（S2），在区域Ⅱ内产生的散射波场W（S5）及相应的应力可以表示为：

在（z2，）平面内，散射波波场 W（S2），在区域Ⅱ中产生的散射波场W（S3）和在区域Ⅲ内产生的驻波波场W（Z4），散射波波场W（S5）可分别表示为：

在（z1，）平面内，散射波W（S3）的位移场和相应应力可以表示为：

式中：⊗＝z1－i（RD＋h2），⊕＝z2＋i（RD＋h2），下标（zP，z－P），（P＝1，2）表示所在复平面，上标（Ⅰ）表示入射波，上标（S1）表示编号为1的散射波，上标（Z4）表示编号为4的驻波。An、Bn、Cn、Dn、En表示波函数的系数。

1.4 连接条件

1.5 动应力集中因子（Kd）

2 算例分析

定义参数：G＊＝G2／G1，G＃＝G3／G1，ρ＊＝ρ2／ρ1，ρ＃＝ρ3／ρ1，k＊＝k2／k1，k＃＝k3／k1，其关系为：k＊k＊＝ρ＊／G＊，k＃k＃＝ρ＃／G＃。介质越“硬”则波速越快，因而波数k就越小，所以当k＊＞1时表明区域Ⅰ比区域Ⅱ“硬”，同理，k＃＞1表明区域Ⅰ比区域Ⅲ“硬”。在本算例中，假定所有k＊＞1，即覆盖层比半空间要“软”，且假定所有ρ＊＝0.8，r＝1，ρ1＝1，G1＝1，h1＝h2＝1.5r。

图2中给出了当α0＝90°，G＊＝k＊＝k＃＝ρ＊＝1，G＃＝ρ＃＝0，k1＝0.1，h1＝1.5r、12r时圆杂周边的Kd。此时，问题退化为图1（b）中所示的半空间单个圆孔对SH波的散射问题。计算表明，当RD≥120r时，图2中Kd的分布状况与文献［9］中的结果高度一致，这说明了大圆弧法的合理性。

图3描述了当夹杂“最软”时，SH波在不同频段入射时夹杂边Kd的分布情况。G＊＝0.355 6，G＃分别为0.273 4、0.242 2、0.216 0、0.193 9。图3（a）中k1＝0.5，入射波在低频段，Kd为椭圆形，随着k＃的增加而不断向两侧变大，在90°和270°时变化则极为弱小。当k＃以0.1为增量时，Kd，max以增量不断减小的方式增大，但所在角度没有变化，约在190°和350°两处。图3（b）中k1＝1，SH波在中频段入射，Kd为蝴蝶形，图3（c）中k1＝1.5，SH 波在高频段入射，Kd为花瓣形。与图3（a）类似，Kd也随k＃的增大不断向外扩展，而Kd，max的增量不断减小，但所在位置与图3（a）不同，在图3（b）中约为20°和160°，在图3（c）中约为210°和330°。整体上，Kd，max随入射频率的增大而减小。

图4描述了当夹杂“软硬居中”时，圆杂边Kd的分布情况。此时G＊＝0.355 6，G＃分别为0.743 8、0.625 0、0.532 5、0.459 2。图4（a）描述了当k1＝0.5时夹杂周边Kd的分布，与图3（a）类似，其形状也为椭圆形，并随k＃的增加而不断向两侧变大，但整体上要小于图3（a）中Kd，图3（a）中k＃＝1.6时Kd，max略大于1.3，而图4（a）中k＃＝1.4时 Kd，max≈1。另外与图3（a）不同的是，当k＃以0.1为增量增加时，Kd，max是以相同的增量（约0.1）不断增大，但其所在位置（角度）没有变化，都是在约190°和350°两处。与图3（b）和图3（c）类似，图4（b）和图4（c）分别描述了SH 波在中频（k1＝1）和高频（k1＝1.5）入射时的情况。与图3（a）和图4（a）的关系类似，图4（b）～（c）中Kd整体上要比图3（b）～（c）中Kd小，而且Kd，max也随着k＃的增大而以相同的增量增加。整体而言，从图4（a）到图4（c），Kd，max的增量是在不断减小的。

图5 描述了当夹杂“最硬”时，夹杂周边 Kd的分布。G＊＝0.355 6，G＃分别为3.055 6、2.244 9、1.718 8、1.358 0。与前面的结果类似，当k1分别为0.5、1.0、1.5时，Kd分别为椭圆形、蝴蝶型和花瓣形，且Kd，max所在角度基本没有变化，但整体上缩小了，当k＃同样以0.1为增量不断增加时，Kd，max却是以增量不断变大的方式增大的，这与图3～4的情况都不一样。

图6描述了当夹杂“最软”、“居中”、“最硬”时，圆杂的Kd，max随k＃的变化情况。与图3～图5相同，都只改变波数k3，都是k1越大则Kd，max越小。整体上，夹杂越“硬”，Kd，max越“小”。当夹杂“最软”时，Kd，max的增加呈现随k＃的增大而先大后小的变化，图形为上凸的，当夹杂“软硬居中”时，Kd，max的变化则可认为随着k＃的增大而呈现线性变化，图形可认为是直线，当夹杂“最硬”时，Kd，max随着k＃的增大而呈现先小后大的变化，图形是下凸的。这些与图3～5的结果是相对应的。

图7描述了夹杂周边Kd，max随k1的变化情况。无论夹杂硬度如何，只要确定k3，Kd，max先随着k1的增加而增大，当k1≈0.35时达到最大，而后随着k1的增加而减小，当k1≈0.75时达到极小值，此后随着k1的增加而震荡下降。整体上，夹杂越“软”则Kd，max越大。

3 结 论

根据大圆弧法对地表软覆盖层中单个圆杂在SH波作用下的动应力集中问题进行了研究，将覆盖层边界用大圆弧来近似，构造散射波场，得到解析解。算例表明：当SH波垂直入射，覆盖层“软”，圆杂位于覆盖层正中时：

（1）圆杂越“软”，Kd越“大”，圆杂越“硬”，Kd越小；

（2）当k1≈0.35时，Kd，max达到最大值，当k1≈0.75时出现极小值，此后随k1的增加呈震荡下降的变化。

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Dynamic analysis for shallow buried circular inclusion impacted by SH－wave in a softlayered half－space

Zhao Yuanbo，Qi Hui，Ding Xiaohao，Zhao Dongdong
（College of Aerospace and Civil Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，Heilongjiang，China）

In this study，we investigated the dynamic stress concentration factor of single circular inclusion shallow buried in surface softlayered half space impacted by steady SH－wave using the complex variable function method and the wave function expansion method，and obtained the analytical solution.Based on the attenuation characteristic of SH－Wave scattering and using the large－arc assumption method，we converted the problem of the layer half space linear boundary to that of the circle boundary and，by an example，analyzed the influence of different incident wave numbers and the ratios of the circular inclusion to the half space on the distribution of the dynamic stress concentration factor and on the change of the maximum dynamic stress concentration when the incident SH－wave is vertical.Numerical examples show that the“softer”the circular inclusion，the greater its wave number of circular inclusions，and the larger the dynamic stress concentration factor around the circular inclusion；the maximum dynamic stress concentration factor around circular inclusion reaches its maximum value when the number of the incident SH－wave approaches 0.35.

SH－wave scattering；soft surface layer；circular inclusion；large－arc assumption method；dynamic stress concentration factor

O343.4 国标学科代码：13015

A

10.11883／1001－1455（2017）06－0982－08

2016－04－12；

2016－07－12

黑龙江省自然科学基金项目（A201404）

赵元博（1982— ），男，博士研究生，助理工程师，ZYB201507＠126.com。

（责任编辑 曾月蓉）