浅议向量组线性相关性的判别方法

2017-12-20王星星贾会芳

速读·下旬 2017年12期

王星星++贾会芳

摘要：向量组的线性相关性是《线性代数》的重要内容，也是考研必不可少的一部分。行列式的值、矩阵的初等变换、齐次线性方程组的解等理论都可用于判别向量组的线性相关性，本文总结了判别向量组线性相关性的几种方法，并给出一些典型例子。

关键词：向量组；线性相关性；判别方法

向量组的线性相关性是线性代数的重要内容，它与行列式、矩阵、线性方程组的解等都有着紧密的联系。由于其概念比较抽象，以致向量组的线性相关性判定成了一大难题。

1相关结论法

下面的结论简单易懂，是判别向量组线性相关性的最直接方法。

结论1：单个零向量线性相关，单个非零向量线性无关。

结论2：[α1，α2]，线性相关的充要条件是[α1，α2]的分量对应成比例。

结论3：含零向量的向量组必线性相关。

结论4：若向量组[α1…，αr]线性相关，则向量组[α1…，αrαr+1…，αm]（m>r）线性相关；若向量组线性无关，则其任意的部分组线性无关。

结论5：当m>n时，则n维向量组[α1，α2…，αm]必线性相关；特别n+1个n维向量组必线性相关。

结论6：向量组[α1，α2…，αm]（m≥2）线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。

结论7：若向量组线性无关，则对其中每个向量在相同位置任意添加多个分量后所得向量组仍线性无关（无关组添加分量仍无关）。

例1：判别向量组

[α1=2，3，4，1，α2=（-2，1，-1，4）T，α3=（4，-6，1，2）T，α4=（9，7，-2，1）T，α5=（-5，-4，-2，0）T]的线性相关性。

解：由结论5知，5个四维向量一定是线性相关的。

2定义法

利用定义来判别时，只要令[k1α1+k2α2+…+kmαm=0]，如果存在不全为零的数[k1，k2…，km]使得等式成立，则向量组[α1，α2...，αm]是线性相关的，否则称它是线性无关的。这是判断向量组线性相关性的最基本方法。此方法适用于分量未给出的向量组。

例2：已知向量組[α1，α2，α3]线性无关，证明向量组[β1=α1，β2=α1+α2，β3=α1+α2+α3]也线性无关。

证明：设存在数[k1，k2，k3]使[k1β1+k2β2+k3β3=0]，则有[k1α1+k2（α1+α2）+k3（α1+α2+α3）=0]，即

[k1+k2+k3α1+k2+k3α2+k3α3=0]，由[α1，α2，α3]线性无关，故[k1+k2+k3=0k2+k3=0k3=0]，解得[k1=0，k2=0，k3=0]，所以向量组[β1，β2，β3]也线性无关。

3矩阵的初等变换法

以所给向量组为行向量组（或列向量组）构造矩阵A，并对其作初等行变换化为行阶梯形矩阵，如果行阶梯形中的非零行行数小于向量个数，则向量组线性相关，否则线性无关。此方法适用于任何已知坐标的向量组，这是判断向量组线性相关性的最常用方法。

例3：判别向量组

[α1=（1，0，3，1）T，α2=（-1，3，0，-2）T，α3=（2，1，7，2）T，α4=（4，2，14，0）T]的线性相关性。

解：作矩阵

[A=α1，α2，α3，α4=1-1240312307141-220→1-124031203120-104→1-1240104001-100000]

矩阵A的秩为3，而向量组中所含向量个数为4，故向量组[α1，α2，α3，α4]线性相关。

4行列式值法

当所给向量组中向量个数和向量维数相等时，以给定向量组可作成行列式[A]，若行列式[A]的值为0，则向量组是线性相关的；若行列式[A]的值不为0，则向量组是线性无关的。如以上例3（向量个数和向量维数都是4）就可用行列式值法判别：

作行列式[A=1-1240312307141-220=0]，所以向量组[α1，α2，α3，α4]是线性相关的。

5齐次线性方程组法

讨论以所给向量组[α1，α2，…，αm]为系数向量的齐次线性方程组[x1α1+x2α2+…+xmαm=0]，若该齐次线性方程组有非零解，则[α1，α2，…，αm]线性相关；否则线性无关。

例4：判别向量组

[α1=（1，a，a2，a3）T，α2=（1，b，b2，b3）T，α3=（1，c，c2，c3）T，α4=（1，d，d2，d3）T]的线性相关性，其中a，b，c，d各不相同。

解考虑相应的齐次线性方程组[x1+x2+x3+x4=0ax1+bx2+cx3+dx4=0a2x1+b2x2+c2x3+d2x4=0a3x1+b3x2+c3x3+d3x4=0]此方程组的系数行列式是范德蒙行列式，易知，当a，b，c，d各不相同时，[D=1111abcda2b2c2d2a3b3c3d3≠0]由克拉默法则知，方程组只有零解，所以向量组[α1，α2，α3，α4]线性无关。

6反证法

判定向量组线性相关性时，可先假设结论成立，然后推出矛盾，从而下结论说假设不成立，原命题得证。

例5：已知[η*]是非齐次线性方程组Ax=b的解向量，而[ξ1，ξ2，…，ξn-r]是对应齐次线性方程组的基础解系。证明：[η*，ξ1，ξ2，…，ξn-r]是线性无关的。

证明：假设[η*，ξ1，ξ2，…，ξn-r]线性相关，则[η*]可由[ξ1，ξ2，…，ξn-r]线性表出，从而有[Aη*=0]，这与[η*]是Ax=b的解向量矛盾，故[η*，ξ1，ξ2，…，ξn-r]是线性无关。

以上分析和归纳了判断向量组线性相关性的五种方法，在具体应用时，要看清问题中向量组给出的形式及其他条件，有针对性的选用方法，才能准确、快速地解决问题，同时要注意方法的灵活应用。

参考文献：

[1]唐晓文，王昆仑，陈翠.线性代数（第2版）[M].2014.

[2]董秀明.判断向量组的线性相关性与无关性[J].考试周刊（数学教学与研究），2013（33）.

[3]栾召平.证明向量组线性相关性的几种方法[J].山东电大学报，2002（2）.

[4]肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法[J].伊犁师范学院学报（自然科学版），2008（1）.

[5]黄娟霞.关于向量组线性相关性的初步探讨[J].广东石油化工学院学报，2012（22）.

[6]刘桂珍.判断向量组线性相关性的常用方法[J].凯里学院学报，2007（25）.