夏 滨

(四川建筑职业技术学院 教务处, 四川 德阳 618000)

带逆平方势的非线性Schrödinger方程的阻尼影响

夏 滨

(四川建筑职业技术学院 教务处, 四川 德阳 618000)

研究一类带逆平方势的阻尼非线性Schrödinger方程,此方程相对论分子物理中有磁性的粒子捕获电子的现象.物理上,阻尼通常弱化系统爆破.从数学上探究分析阻尼对系统爆破的精确影响.对于临界情形,建立一个产生爆破解的阻尼门槛.对于超临界情形,导出一个产生爆破解的阻尼区间.

非线性Schrödinger方程; 逆平方势; 阻尼; 爆破

一类带逆平方势的阻尼非线性Schrödinger方程[1-3]

(1)

物理上,阻尼通常能够弱化系统爆破.本文旨在从理论上分析探究阻尼对系统爆破的精确影响,发展了M. Tsutsumi[11-12]、G. Fibich[13]、M. Ohta等[14]的方法,对于系统(1)的临界情形,建立一个产生爆破解的阻尼门槛(见定理2.1);对于系统(1)的超临界情形,导出一个产生爆破解的阻尼区间(见定理3.1).

1 预备知识

首先赋予方程(1)初值

φ(x,0)=φ0(x),x∈RD.

(2)

于是,(1)和(2)式的局部适定性如下.

-△u+u-|u|p-1u=0,u∈H1(RD),

(3)

那么Gagliardo-Nirenberg不等式

中的最佳常数C*gt;0满足

注1.1方程(3)解的存在性见文献[16],唯一性见文献[17].

下面分析Cauchy问题(1)和(2)的特征.

M(φ(t))=e-2atM(φ0)

(4)

和能量方程

(5)

其中

(6)

和

(7)

其中

(8)

然后用|x|2乘以(8)式,并在RD上积分可得

于是可得(6)式.

2)

x.

(9)

注意到

(10)

和

那么由(9)～(11)式易得(7)式成立.命题得证.

下面给出一个变换

v(x,t)=eatφ(x,t),

(12)

其中φ(x,t)是方程(1)的解,那么v(x,t)满足

(13)

和

v(x,0)=φ(x,0)=φ0(x).

(14)

eat‖φ(t)‖2=‖v(t)‖2=‖φ0‖2

(15)

和

H(t):=‖‖
e-a(p-1)t‖
[e-a(p-1)τ‖).

(16)

(17)

因此,由(17)和(12)式可得

eat‖φ(t)‖2=‖v(t)‖2=‖φ0‖2.

(18)

对(18)式关于t在[0,t]上积分得(16)式.命题得证.

由(15)式可得

‖‖
[e-a(p-1)t‖
a(p-1)[e-a(p-1)τ‖

(19)

其中C*是引理1.1中Gagliardo-Nirenberg不等式的最佳常数.

证明由(16)式,引理1.1和(15)式可得

H(0)=H(t)=‖‖
e-a(p-1)t‖
[e-a(p-1)τ‖
‖‖
a(p-1)[e-a(p-1)τ‖
‖‖
‖
‖‖
‖‖
‖
‖‖
‖‖
{e-a(p-1)t‖
[e-a(p-1)τ‖

于是(19)式成立.命题得证.

2 临界情形下的爆破

由物理可知,阻尼能……