佘连兵, 王仁海

(1. 六盘水师范学院 数学与信息工程学院, 贵州 六盘水 553004; 2. 西南大学 数学与统计学院, 重庆 400715)

非自治反映扩散方程后项紧拉回吸引子的存在性

佘连兵1, 王仁海2

(1. 六盘水师范学院 数学与信息工程学院, 贵州 六盘水 553004; 2. 西南大学 数学与统计学院, 重庆 400715)

给出了定义在Banach空间上的非自治过程存在唯一的后项紧的拉回吸引子的一个充分条件，运用此理论证明了非自治反映扩散方程在相对弱的假设条件下存在唯一的后项紧拉回吸引子.

非自治动力系统; 拉回吸引子; 后项紧性; 非自治反映扩散方程

ut+λu-Δu=f(x,u)+g(t,x),x∈E,

(1)

其中,E是RN中的有界域,t≥s∈R,λgt;0且u(s,s,x)=u0.

关于非自治动力系统的详细介绍可见文献[3,5].此外，为了方便后面的后项一致估计，把文献[4]中的Gronwall型不等式写成下面的具有非自治形式的后项Gronwall型不等式(这里对过去的时间取上确界).设y、y′、y1和y2是R上的局部可积函数,且y、y1和y2是非负的，对于每个t∈R满足

y′(s)+by(s)+y1(s)≤y2(s),s≤t.

(i) 若b∈R是一个给定的常数，则对于每一个t∈R和μgt;0有

(2)

(ii) 若b≥0是一个给定的常数，则对于每一个t∈R和μgt;0有

(3)

1 后项紧拉回吸引子理论

定义1.1设S(t,s):X→X,∀t≥s是定义在Banach空间X上的一族映射,若对于任意的t≥r≥s有S(s,s)=idx，S(t,s)=S(t,r)S(r,s)，则称S是X上的一个非自治过程.

定义1.3设A={A(t)}t∈R是Banach空间X中的一个非自治集,对任意的t1,t2∈R,当t1≤t2时，有A(t1)⊂A(t2),则称A是单调递增的；当t1≤t2时，有A(t1)⊃A(t2),则称A是单调递减的.

定义1.4设S是定义在Banach空间X上的一个非自治过程,若X中的一个非自治集A={A(t)}t∈R满足：

2)A是不变的，即S(t,τ)A(τ)=A(t),t≥τ;

3)A是拉回吸引的，即对于X中每个有界集D有

定理1.1设S是定义在Banach空间X上的一个非自治过程，若

(i) S在X上有一个单……