黄 婷， 陈 蕾， 郑春雨

(琼台师范学院 数理系, 海南 海口 571123)

全平面上(p，q)级随机Dirichlet级数的值分布

黄 婷， 陈 蕾， 郑春雨

(琼台师范学院 数理系, 海南 海口 571123)

根据全平面上(p，q)级随机Dirichlet级数的定义，通过把全平面上的随机Dirichlet级数映射到单位圆上的随机Dirichlet级数，应用推广的Nevanlinna第二基本定理，证明了全平面上(p，q)级随机Dirichlet级数在一定条件下几乎必然以每条水平直线为无例外小函数的(p，q)级强Borel线，该结论丰富了Dirichlet级数的成果，具有一定的理论意义.

随机Dirichlet级数; (p，q)级； 强Borel线； 小函数.

1 引言与结果

考虑随机Dirichlet级数

(1)

满足0≤λ0lt;λ1lt;λ2lt;…lt;λn↑+∞，s=σ+it，σ及t是实变数，{Xn(ω)}为某概率空间(Ω，A，P)上的独立复随机变量列.

恒假定{Xn}满足下列条件：对∀ngt;0，E(Xn)=0，且存在一正数d，使得

(2)

引进辅助级数

(3)

令

对全平面上解析的级数(2)，令

其中p、q为整数，p≥q≥0.

定义1如果ρ=ρf(p-1，q-1)=0或+∞(p≥q≥0)，而0lt;ρf(p，q)lt;+∞，则称解析函数f(s)有指数对(p，q)，则ρ=ρ(p，q)称为f(s)的(p，q)级.

注：本文仅讨论pgt;q的情形.

由文献[1]中的定理6.6.4可知：若级数(1)满足(2)式及

(4)

那么级数(1)与级数(3)有相同的(p，q)级，且

(5)

本文得到如下结果:

定理1若级数(1)满足条件(2)、(4)和(5)，那么几乎必然每条水平直线{s|Ims=t0}(t0∈R)是fω的没有例外小函数的ρ(p，q)级强Borel线，即对∀ω∈A，∀t0∈R,∀ηgt;0及∀φ∈H有

(6)

其中

n(σ，t0，η，fω=φ(s))=
#{s|fω=φ(s)，s∈B*(σ，t0，η)，φ∈H}，

B*(σ，t0，η)={s|Res≥σ}∩B(t0，η)，

2 引理

给定t0∈R和ηgt;0，考虑映射

(7)

其逆映射s=Φ1(z)，z=Φ2(W)，令

W=φ(s)=φ2·φ1(s)，s=Φ(W)=Φ1·Φ2(W)，

H*(r)={z||z|≤r}∩Hk,k=1，2，

D(R)={W||W|lt;R},R∈(0，1]，

那么Φ(D(1))=B(t0，η).有下面引理，见文献[1].

(8)

及

(9)

则映射(7)将级数(1)及∀φ(s)∈H映射为D(1)内的随机解析级数，有

并且Ψ(W，ω)与ψ(W)在D(1)内随机解析，令

由Nevanlinna第二基本定理推广得到下面引理：

引理2令G(W)和gj(W)(j=1，2)在D(1)内解析且满足

及T(R，gj(W))=o(T(R，G(W)))(R→1)，那么

其中R∈(0，1)，A和B是正常数.

由文献[1]中的引理6.7.3可得下面引理:

引理3设随机变量Xn(ω)满足(2)式，那么

引理4对在D(1)内解析的Ψ(W，ω)有

(10)

及∀ψ∈H′至多有一个可能的例外值ψ(W)使下式成立

(11)

其中

N(R，Ψ(W，ω)=ψ(W))=

n(μ，Ψ(W，ω)=ψ(W))=

#{W|Ψ(W，ω)=ψ(W)，|W|lt;μ}.

证明……