熊 胤, 蒲志林

(1. 四川师范大学 法学院, 四川 成都 610066; 2. 四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

一类具有记忆项的双曲型方程解的能量衰减估计

熊 胤1, 蒲志林2

(1. 四川师范大学 法学院, 四川 成都 610066; 2. 四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

讨论了一类带记忆项的双曲型的阻尼波动方程解的能量衰减估计问题.此类方程的损耗十分微弱,且包含在记忆项中.利用乘子思想,构造等价于能量函数E(t)的Lyapunov函数L并利用微分不等式来得到相应的解的能量衰减估计.

波方程; 衰减估计; 记忆项; 能量等式

带有记忆项的双曲型方程由于在现代控制理论、空间技术以及材料分析等领域有许多应用[1-2],近年来受到广泛的关注.这类方程的耗散性主要是由非线性记忆项所确定,因此,耗散估计对于建立解的动力学和分析学性质有着重要的作用[3-4],其中,具有双曲型的一类偏微分方程描述了带有衰退记忆的简单粘弹性材质[5-11].

设Ω⊂R3是一个有界区域.考虑出现在等温的粘弹性理论中的如下方程

其中,g是一个非线性项,f是一个给定的与时间无关的外力,u=u(x,t)是实值函数,代表位移矢量.这种形式的方程也出现在伴随着有衰减记忆和耗散的粘弹性固体的描述中.如果k′≡0,则方程(1)转化为一个阻尼波方程[12-13].

对于这类带记忆项的双曲线型的阻尼波方程,文献[14]引入了新的变量

ηt(x,s)=u(x,t)-u(x,t-s),

对上式中的t求导得

同时,令μ(s)=-k′(s)且k(∞)=1,定义v=ut,则方程(1)可以转化为如下形式

其初值边界条件为

其中

由……