卢 飞, 周 吉

(四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

解析函数的Schwarz不等式

卢 飞, 周 吉*

(四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

主要讨论从单位圆到带形区域0lt;Imf(z)lt;π上的解析函数的Schwarz引理及边界Schwarz引理.

Schwarz引理; 边界Schwarz引理; 解析函数

1 预备知识

在复变函数论中,Schwarz引理是一个非常重要的结果,具有广泛的应用价值.下面所表述的引理被称为经典的内部Schwarz引理.

引理1.1[1]如果函数f(z)在单位圆|z|lt;1内解析,并且满足条件

f(0)=0, |f(z)|lt;1, |z|lt;1,

则在单位圆内恒有

|f(z)|≤|z|,

(1)

且

|f′(0)|≤1.

(2)

f(z)=zeiθ, |z|lt;1,

其中θ为一实常数.

引理1.2[1]若函数f(z)=cpzp+cp+1zp+1+…,cp≠0,p≥1,满足:

1)f(z)在单位圆上解析,

2) 当|z|lt;1时,|f(z)|lt;1;

则

|f(z)|≤|z|p,z∈,

(3)

且

|f(p)(0)|≤p!.

(4)

f(z)=zpeiθ,

其中θ是实常数.

20世纪20年代,一些著名的数学家,如G. Julia[2]、J. Wolff[3]和C. Carethéodory[4]等研究了从单位圆到单位圆内的解析映射在边界的行为,得到了边界Schwarz引理[5].近年来,D. M. Burns和S. G. Krantz[6]、B. N. Örneak[7-8]、R. Osserman[9]等学者也得到了许多好的结果,如:

引理1.3[9]若函数f(z)满足:

1)f(z)在单位圆上解析;

2) 当|z|lt;1时,|f(z)|lt;1;

3)f(0)=0;

4) 存在点b,|b|=1,使得f(z)可连续的延拓到b,且|f(b)|=1,函数f(z)在点b处导数存在;

则

(5)

进一步,当且仅当

其中0≤a≤1,(5)式中等号成立.

引理1.4[9]若函数f(z)=cpzp+cp+1zp+1+…,cp≠0,p≥1,满足:

1)f(z)在单位圆上解析;

2) 当|z|lt;1时,|f(z)|lt;1;

3) 存在点b,|b|=1,使得f(z)可连续的延拓到b,且|f(b)|=1,函数f(z)在点b处导数存在,

则

(6)

进一步,当且仅当

f(z)=zpeiθ,

其中θ是实常数,上述不等式等号成立.

本文将研究从单位圆到带形区域0lt;Imf(z)lt;π上的解析函数f(z),得到了相应的Schwarz引理及边界Schwarz引理.

2 主要结果及证明

在下面的讨论中,不妨令

f(z)=u+iv,

其中,|z|lt;1.

定理2.1若函数f(z)在单位圆上解析,满足f(0)=i,且0lt;Im (f(z))lt;π,则

(7)

且

|f′(0)|≤2.

(8)

且

其中θ是实常数.

证明令f(z)=u+iv,其中-∞lt;ult;+∞,0lt;vlt;π.构造函数

则函数φ(z)在上解析,且

注意到

|ef(z)-i|2-|ef(z)+i|2=-4eu·sinv.

由-∞lt;ult;+∞,0lt;vlt;π,得

-4eu·sinvlt;0,

即

|ef(z)-i|2lt;|ef(z)+i|2,

从而

因此,φ(z)在单位圆上解析有

φ(0)=0, |φ(z)|lt;1, |z|lt;1.

由Schwarz引理(引理1.1)得

|φ(z)|≤|z|, |z|lt;1.

由φ(z)的定义得……