李 庆

(西南民族大学 计算机科学与技术学院, 四川 成都 610041)

UP整环上的u-平坦模

李 庆

(西南民族大学 计算机科学与技术学院, 四川 成都 610041)

UP整环;u-模;U-内射模;u-平坦模

1 引言及准备知识

在环模理论中,内射性与平坦性的发展一直是众多代数学者研究的焦点问题.2005年,文献[1-2]研究了极大性内射模的概念.2010年,文献[3]刻画了交换环上的极大性内射模并引入了MFG整环等概念并讨论其同调性质.文献[4-6]研究了特殊环上的内射性.2016年,文献[7]在文献[3]的基础上将极大性内射模推广到U-内射模并展开了一系列的讨论.2014年,文献[8]利用w-算子将平坦模推广到w-平坦模.2017年,文献[9]借助于文献[7,10]的思想,定义了u-算子和UP整环,提出了u-正合列的概念,讨论了一些基本的同调性质.希望在文献[9]的基础上进一步较为系统地刻画UP整环上的同调性质,主要对内射性和平坦性做进一步推广研究.

设R是整环,用w-Max(R)表示R的极大w-理想,E(M)表示R-模M的内射包.首先回顾几个重要概念.设S是R的理想的非空集合,满足：

1)R∈S;

2) 若I,J∈S,则IJ∈S,则称S为R的一个理想的乘法系.

或者对任何J∈U,模同态f:J→M可以扩张到R上,则称M是U-内射模.假设M是U-无挠的R-模,令Mu={x∈K⊗RM|∃J∈U使得Jx⊆M},称Mu为M的u-包络.若J∈U,x∈K⊗RM和Jx⊆M,能推出x∈M,则M就叫做u-模.显然,M是u-模当且仅当Mu=M.由文献[7]中定理3.4可知U-无挠的R-模M是U-内射模,当且仅当M是u-模.在文献[9]中定义了UP整环.所谓R是UP整环,是指R是U-无挠的自U-内射整环且R满足(P).这里R满足(P),是指任意J∈U至少包含一个有限生成子理想I∈U.我们知道u-包络在UP整环上构成了星型算子,简称为u-算子.更多关……