张国利

【摘要】本文统计了华东师范大学编写的《数学分析（第四版）》教材中的定理、习题和提及的数学家，研究了这些数学家传记以及一些数学史在课堂上的教育价值，从而激发学生在数学分析课堂上的学习兴趣，提高学生的人文素质。

【关键词】数学分析；数学家；数学史；人文素质

【中图分类号】G642.0 【文獻标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）13-0055-02

在我校数学科学学院的应用数学、数学教育和统计学等几个本科专业里，都采用了华东师范大学数学系编写的《数学分析（第四版）》（以下简称《数》）作为授课教材。《数》分为上下两册，其内容难易适当，习题丰富，章节设置合理，很多高校都采用了此书作为教材，一般用3个学期完成教学。教学过程中，我们可以采用毛羽辉等编著的《数学分析学习指导书（ 上下册）》作为辅导教材，可以推荐学生把东北师范大学数学系刘玉琏等编著的《数学分析讲义》作为配套教材，当然，对学有余力的学生也可以推荐他们阅读张筑生、欧阳光中、陈纪修、谢惠民等或直接阅读Amann、Apostol或Zorich等各自编著的数学分析著作。

《数》中有大量的定理，定义和习题以及数学家的名字，由于和高中数学思维的巨大差异，初学此书的高中毕业生大多会略感不适。本文从对这些定理和数学家的统计数据得出了对本教材贡献最大的数学家，通过对他们的介绍，可以提高对教材的可教性和学生的易学性，这些课堂上有益的尝试，确实收到了一些理想的教学效果。

一、数学史、数学家传记的人文教育价值

无论哪一本数学分析教材都会有大量的定理及其证明，经作者统计，《数》正文中共有244个定理（等价定理或推论不计入），提到48位数学家（含习题中的），以数学家命名的定理有34个，约占定理总数的13.9%。该书共有966道习题，其中课后习题中的基础题有490道，约占50.7%，提高题273道，约占28.3%，总复习题203道，约占21%。[1]从这个数据来看，学生要至少做好全书一半以上的习题才能算基本掌握教材，要学精教材至少要做好70%以上的习题，但从作者的小范围调查来看，我校学生普遍做题没有达到50%甚至更低，这是一个需要注意的问题。

大部分的数学教材都在很直接地向学生介绍各种定义、定理和直接的证明，而对这些教学内容的背景提的不多，其实这是一个很好的对学生进行人文教育的机会，在课堂上对学生的渗透也是最好的提高人文素质的方式之一。季羡林大师在首届北大论坛上曾讲到：“在21世纪，文理交融是学术发展的必由之路，文理双方的专家都要考虑交融的问题。”[2]其实，每一个定义、定理的产生背后都有很多数学家研究的艰辛历程，有该问题产生的萌芽、错误、改进和推广，了解这些问题背景，不仅对学好本门课程的学习有利，也会提高学生的人文素质，对后续课程也有很好的影响。因此，作者在《数》的教学过程中，越来越体会到对数学史、数学家传记贯穿到教学中的重要性，为此专门搜集了《数》中出现的全部数学家传记并整理装订成4册共约500页的传记以便为教学服务，此外，作者还正在整理《数》中出现的著名定理或数学概念的研究历程编辑成册以方便教学。同时作者也积极向学生推荐一些如吴文俊或林寿的《数学史》、齐民友的《重温微积分》、克莱因（Felix Klein，德国数学家、教育家，1849.4.25-1925.6.22，在群论、复分析和非欧几何等领域有重要贡献）原著，舒湘芹等译的《高观点下的初等数学》、John Stillwell（澳大利亚，1942-）原著，袁向东等译的《数学及其历史》等数学史或数学科普著作。

著名华裔数学家丘成桐（1949-）说过“多读几部科学家传记比参加奥赛训练要好的多，培养学生的兴趣太重要了”。[3]作为数学系本科《数》课程的教师，有必要对数学家传记或数学史的教育价值进行研究。从数学家传记中，我们可以探索其个人或顺利、或挫折的成长经历以及社会环境对个人成长的影响，可以看到教材上没有提到的他们对数学的具体贡献，由此可以激发学生的学习兴趣和求知欲，如介绍魏尔斯特拉斯是如何培养教育自己的学生、欧拉在视力减退的情况下如何著作等身、英年早逝的数学家阿贝尔的传奇故事等。苏联教育家苏霍姆林斯基（1918-1970）说过：“所有智力方面的工作都要依赖于兴趣。” [4]强烈的好奇心，是引发兴趣的重要来源。适当地向学生介绍曾经解决或尚未解决的数学问题能充分调动学生的学习积极性，如《数》上册第46页函数极限的（ε，δ）定义产生过程：18世纪初，柯西在他的某些文章中已经开始使用ε，δ这一类符号，但没有提出函数极限的（ε，δ）定义。1817年波尔扎诺（Bernard Bolzano，捷克数学家，1781.10.5-1848.12.18）第一个提出极限的（ε，δ）定义，最终由魏尔斯特拉斯提出极限的现代（ε，δ）定义，再加上后来戴德金等人提出的实数理论才奠定了分析严格化的基础。第204页黎曼积分的产生过程及其缺陷：对于定义在有界闭区间[a，b]上的连续函数，在柯西定义的积分里面，，其中δ是对[a，b]分割的模，是每一个分割小区间的左端点，柯西在证明连续函数一定是（柯西）可积的证明过程是不完美的，而且其定义也是有局限性的，后来黎曼改进了柯西的定义，把柯西积分定义中的改为中的任一点ξi，于是对柯西积分只适用于任一点震荡为0的函数，黎曼积分则将其推广到了震荡可以大于0的情形。[5]当然黎曼积分在如积分与极限换序运算等方面的不便更促使了Lebesgue（法国数学家，1875.6.28-1941.7.26）积分的产生和发展。下册第5页的格兰迪（Luigi Guido Grandi，意大利数学家，1671.10.1-1742.9.4）级数：这个级数发散很好证明，但是其切萨罗（Ernesto Cesàro，意大利数学家，1859.3.12-1906.9.12）和却等于，其原因就在于我们对级数和的定义有差异。第14页p级数敛散性的研究历程：ζ（1）称为调和级数，其发散性首先被奥雷斯姆（Nicole Oresme，法国数学家，1325-1382）在1350年证明。ζ（2）时是著名的巴塞尔问题（Basel Problem），1735年，年仅28岁的欧拉得到了经典的结果ζ（2），尽管一开始的证明并不完美，但从此在数学届名声大振。ζ（3）为称为阿佩里（Roger Apéry，法国，1916-1994）常数，1979年Apéry证明了ζ（3）是个无理数，更多情况下的ξ（p）是有理数还是无理数还不清楚。一般情况下，称ζ（s）为黎曼zeta函数，其中s为实部大于1的复数。这个函数在解析数论中有着极其重要的地位尤其是与素数的分布有着密切的联系，它在物理学、概率论和应用统计学中也有广泛应用。以上几个例子我们可以看到教师在这里讲授的每一个小知识点都可以变成课堂上一段段生动的学习素材，花费适当的时间介绍给学生可以起到点缀丰富数学课堂、增加数学知识的亲和力、提升学生学习兴趣等效果。事实上，只有那些热爱数学，并能把数学看成活生生的、不断发展的教师才能真正激起学生的好奇心和求知欲。

我们对学生的培养，其核心是如何做人，如何为人处世体现了一定的人文精神。课堂教学仅仅传递知识是远远不够的，我们教育的根本要使学生对人生价值有所领悟并产生热爱生活和事业的情感，树立远大人生目标。1996年，联合国教科文组织21世纪委员会发布的报告《学习：内在的财富》提出了学习的四大支柱即：学会求知、学会做事、学会共处、学会生存。从数学史和数学家的传记来看，数学的发展历程上有着大量相互交流，相互合作的例子，这正是数学数学课堂上提高学生人文素质的最好的教育方式之一。

二、结语

数学教师本身的整体素质和人格魅力，直接影响着学生个人素质的提高，如果在学生学习数学知识的同时，能及时领悟到数学的魅力和美，体验到数学的价值，这将使他们终身受益，这跟我们的校训：敬业奉献，为人师表和教风：德以修己，教以育人也是一脉相承的。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析（第四版，上下册）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]娄延常.高等学校科学教育与人文教育融合路径的探讨[J].中国高教研究，2003（18）1：2-24.

[3]丘成桐.数学家之路-从“庞加莱猜想”说起[J]，上海：光明日报，2006，6，29（6）.

[4]胡作玄，邓明立.大有可为的数学[M]，石家庄：河北教育出版社，2006.

[5]齐民友.从积分概念的发展看数学分析基本概念的发展（续2）[J].高等数学研究，2015.1.endprint