储开根

苏科版《数学》九年级下册第72页有这样一道习题：

如图1，在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，QM在BC上.设BC=48，AD=16，PQ∶PN=5∶9，求矩形PQMN的面积.

解：设PQ=5x，则PN=9x，AE=16-5x.

∵四边形PQMN是矩形，

∴PN∥QM，∴△APN∽△ABC.

∵AD是△ABC的高，∴AE是△APN的高，

∴[PNBC]=[AEAD]，即[9x48]=[16-5x16]，

解得：x=2，则PQ=5x=10，PN=9x=18.

∴矩形PQMN的面积为180.

探究一：求△ABC中矩形PQMN面积的最大值.

如图2，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为 .（用含a，h的代数式表示）

解：∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，

∴[PNBC]=[AEAD]，

即[PNa]=[h-PQh]，

∴PN=a-[ah]PQ，

设PQ=x，则S矩形PQMN=PQ·PN=x（a-[ah]x）=

-[ah]x2+ax=-[ah]（x-[h2]）2+[ah4]，

∴当PQ=[h2]时，S矩形PQMN最大值为[ah4].

探究二：求“缺角矩形”中剪出的矩形PQMN面积的最大值.

如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积.

【分析】小明从一块“缺角矩形”ABCDE中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），结合题设和探究一，可将缺角矩形问题转化为三角形问题加以解决.

解：如图4，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K.

由题意知四边形ABCH是矩形，

∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，

∴EH=20，DH=16，∴AE=EH，CD=DH，

在△AEF和△HED中，

∵[∠FAE=∠DHE，AE=EH，∠AEF=∠HED，]

∴△AEF≌△HED（ASA），∴AF=DH=16，

同理△CDG≌△HDE，∴CG=HE=20，

∴BI=[AB+AF2]=24，

∵BI=24<32，BI=24>16，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，

过点K作KL⊥BC于点L，由探究一知矩形的最大面积为[14]×BG·BF=[14]×（40+20）×（32+16）=720.

答：该矩形的面积为720.

探究三：求木板余料中剪出的矩形PQMN面积的最大值.

如图5，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且∠B=∠C，AG⊥BC，AG∶BG=[43]，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求該矩形的面积.

【分析】由题设中的∠B=∠C，只要延长BA、CD交于点E，便可将探究三中不规则四边形问题转化为等腰三角形问题解决，再利用探究一结论解答即可.

解：如图6，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，∵∠B=∠C，∴EB=EC，

∵BC=108（cm），且EH⊥BC，

∴BH=CH=[12]BC=54（cm），

∵AG⊥BC，EH⊥BC，∴∠AGB=∠EHB，

∵∠B=∠B，∴△ABG∽△EBH.

∴[EHBH]=[AGBG]=[43]，

∴EH=[43]×54=72（cm），

在Rt△BHE中，BE=[EH2+BH2]=90（cm），

∵AB=50（cm），∴AE=40（cm），

∴BE的中点Q在线段AB上，

∵CD=60（cm），∴ED=30（cm），

∴CE的中点P在线段CD上，

∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由探究一知，矩形PQMN的最大面积为[14]BC·EH=1944cm2.

答：该矩形的面积为1944cm2.

同学们，问渠哪得清如许，为有源头活水来.我们在平时学习中要多注意课本中的“源头活水”——课本例题、习题，要乐学善思，勇于探究，注重题目的本质，寻求一题多变，丰富题目的内涵，拓展题目的外延，实现举一反三，触类旁通，从而不断提高自己的思维能力和数学素养.

（作者单位：江苏省东台市唐洋镇中学）endprint