姚洁

勾股定理是人类历史上光彩夺目的明珠，它是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理；它是联系数学中最基本、最原始的两个对象——数与形的第一定理；它揭示了无理数与有理数的区别，引发了第一次数学危机；它开始把数学由计算与测量的技术转变为论证与推理的科学.满足勾股定理方程a2+b2=c2的正整数组（a，b，c）就称为勾股数组，简称勾股数，也叫毕达哥拉斯数.

勾股方程a2+b2=c2中含有3个未知数，方程的解不唯一.根据勾股定理，只要是直角三角形，三边长都是它的解.本文只讨论它的正整数解的情况，即勾股数，以下全文均设勾股数中第一个数为a，第二个数为b，第三个数为c，且a

一、勾股数有公式可以计算吗？

1. a为奇数.

观察下列勾股数：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41……可以发现两个特点：①a为奇数，且从3开始无间断，b、c是连续自然数；② a2=b+c.以上两个特点，为解决直角三角形的周长问题提供了方便.

问题1：直角三角形的两条直角边为正整数，其中一条短直角边的长为13，求这个三角形的周长.

很多同学看到只有一个条件，束手无策，其实，根据特点①，我们可以设出另一条直角边和斜边，利用勾股定理列出方程，进而求得周长.设另一条直角边为x，则斜边为x+1，列方程得132+x2=（x+1）2，解得x=84，则周长=182.或者根据特点②，我们可以先求出另一条直角边与斜边的和，进而求得周长.

在利用勾股定理解决直角三角形问题时，掌握勾股数之间的特征，往往能事半功倍.进一步研究3条边的关系，我们可以发现：

①[12]（32-1）=4，[12]（32+1）=5；

②[12]（52-1）=12，[12]（52+1）=13；

③[12]（72-1）=24，[12]（72+1）=25；

④[12]（92-1）=40，[12]（92+1）=41；

……

能不能用代数式表示这3条边呢？