巧用勾股定理解决问题
2017-12-11朱华庆
朱华庆
对于勾股定理,有3种常见用法:1.已知直角三角形两边,求第三边;2.已知直角三角形的两边或三边存在数量关系,可以用含同一个字母的代数式表示出来,再利用勾股定理建立方程解决问题;3.已知普通三角形三边存在某种联系,可转化为直角三角形,利用勾股定理建立方程或方程组解决问题.
一、方法回顾
对第三种较为复杂的情况,我们重点回顾一下:
例1 如图1,在△ABC中,AD是BC边上的高,D为垂足,AB=15,AC=13,BC=14,求高AD.
【分析】直接用勾股定理求AD,条件不够,这里刚好有两个直角三角形,可利用两次勾股定理建立方程组.
【解】在Rt△ABD中,AD2=AB2-DB2,在Rt△ACD中,AD2=AC2-CD2,则AB2-DB2=AC2-CD2,设BD=x,CD=14-x,代入得:152-x2=132-(14-x)2.解得:x=9,代入AD2=AB2-DB2,得AD=12.
【点评】此题是两次利用勾股定理建立方程组解决问题的典型例子.有个细节应该注意,AD虽然是两个直角三角形的公共直角边,但是直接设AD=x,计算就有很大困难,所以设未知量的时候要注意,不一定是要求什么就设什么.
二、小试牛刀
例2 如图2,在△ABC中,AE是BC边上的中线,AB=15,AC=13,BC=14,求中线AE的长.
【分析】我们应该找到以AE为边的直角三角形,如果没有,我们可以构建,这就需要作辅助线,基本上都是作垂线.
【解】作AD⊥BC,垂足为D,有了例1的回顾,易求得BD=9,AD=12,由AE为中线可知,BE=7,∴ED=2,在Rt△AED中,AE2=AD2+ED2,计算得:AE=2[37].
【点评】在复杂问题中,如果没有合适的直角三角形,要尝试把非直角三角形转化为直角三角形来解决问题,即几何问题中“化斜为直”的思想.但要考虑好从哪个点开始作垂线,不同的作法,会导致解法的难易程度不同.
三、灵活应用
例3 如图3,某沿海城市A接到超强台风警报,在该市正南方向150km的B处有一超强台风中心正以30km/h的速度沿BC方向移动,已知城市A到BC的距离AD=90km.若在距超强台风中心[2252]km的圆形区域内都受到台风的影响,问城市A是否会受到台风的影响,影响的时间有多久?([182254]=[1352])
【分析】只要探究台风中心距离城市A最近的情形即可.找到台风中心从开始到结束对城市A产生影响的两个位置,作出草图,利用勾股定理解决问题.
【解】当台风中心到达D处时,台风中心距离城市A最近,城市A距离台风中心90km<[2252]km,∴城市A肯定会受到台风的影响.当AE=[2252]km时,城市A刚好开始受到影响,当AF=[2252]km时,城市A刚好结束影响.在Rt△ADE中,ED2=AE2-AD2,所以DE=[1352],所以EF=2DE=135,故t=135÷30=4.5h.
【点评】本题难点在于作图,找到台风中心对城市A开始影响和结束影响的位置.方法上与例2相同.
四、再攀高峰
例4 如图4,某沿海城市A正南方向150km处有一小岛B,有一艘旅游船以20km/h的速度从小岛出发,沿BC方向航行.已知城市A到航线BC的距离AD=90km.一艘巡逻船从城市A出发,以akm/h的速度沿直线去追赶旅游船(两船相遇以前都不停留).(1)当a=15时,巡逻船能否追上旅游船,若能,则要几小时追上?(2)当a=20时,巡逻船能否追上旅游船,若能,则要几小时追上?
【分析】当巡逻船走完最短距离AD,到达点D时,看看旅游船是否到达点D,如果没有到达,则巡逻船改变航行方向,一定可以追上旅游船,反之,则巡逻船不一定能追上旅游船.所以先判断相遇位置,再画出草图,是解決这类问题的关键.
【解】(1)在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2,代入得BD=120,t巡逻船=AD÷15=6,t旅游船=BD÷20=6,∴巡逻船6小时能够追上旅游船.(2)如图5,t巡逻船=AD÷20=4.5,t旅游船=BD÷20=6,所以巡逻船一定可以追上旅游船,假设巡逻船经过x小时在E处追上旅游船,则BE=20x,AE=20x,DE=120-20x,在Rt△AED中,ED2=AE2-AD2,代入得:x=[7516],即[7516]小时后,巡逻船追上旅游船.
【点评】对于这类问题,先判断能否一定追上,如果能,那么相遇点E一定在线段BD上,否则,相遇点也有可能在BD的延长线上,很容易就作出草图,然后利用勾股定理解决问题.最后,再次强调AD这条高,在复杂问题中没有给出,可以尝试作出.
五、终极挑战
例5 (2008·常州)如图6,港口B位于港口O正西方向120海里外,小岛C位于港口O北偏西60°的方向.一艘科学考察船从港口O出发,沿北偏东30°的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B出发,沿北偏东30°的方向以60海里/小时的速度驶向小岛C,在小岛C用1小时装补给物资后,立即按原来的速度给考察船送去.(1)快艇从港口B到小岛C需要多少时间?(2)快艇从小岛C出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇?
【解析】题(2)当年得分率非常低,同学们利用刚才所学方法可轻松列出方程,如果方程不会解,没关系,那就到初三再解出来,正所谓“革命尚未成功,同志仍需努力”.关键是作CD⊥OA,再进行计算和判断(快艇到达点D小于1小时,而科学考察船到达点D需2.5小时),所以两船相遇点E在线段OD上,画出草图,设x小时快艇追上科考船,在Rt△CDE中用勾股定理列出方程,解决问题.参考答案:(1)t=1,(2)t=1.
(作者单位:江苏省常州市金坛区尧塘中学)endprint