黄明华，胡 倩，黄炎杰，赵明华

(湖南大学岩土工程研究所，湖南 长沙 410082)

非均质地基浅埋水平条形锚板承载力上限分析

黄明华，胡 倩，黄炎杰，赵明华

(湖南大学岩土工程研究所，湖南 长沙 410082)

考虑地基土体的非均质特性，采用非线性Mohr-Coulomb强度准则及其关联流动法则构造了浅埋水平条形锚板的曲线型破裂机制与机动许可速度场，根据极限分析上限定理推导了条形锚板抗拔承载力的表达式。利用变分极值原理求得了锚板抗拔承载力及其上方土体破裂面的上限解，分析了锚板埋深、土体非均质和非线性强度特性对锚板抗拔承载特性的影响，并将该上限解与已有计算方法进行了对比。结果表明：锚板埋深、土体非均质和非线性强度特性对其抗拔承载力与破裂面特征具有明显的影响。锚板埋深和土体非均质系数越大以及土体非线性强度系数越小，锚板抗拔承载力和土体破裂面深度、宽度均是越大。该上限解与极限平衡和极限分析有限元方法的计算结果基本一致，验证了所采用的曲线型破裂机制和地基非均质变化规律有效性，为条形锚板设计提供了一定的参考。

条形锚板；非均质地基；上限分析；抗拔承载特性；非线性强度准则

锚板可以提供抗拔承载力来维持上部结构的稳定，在高层结构抗倾覆、地下结构抗浮、输电线塔/通讯塔底座基础以及边坡挡土墙等大量岩土工程领域得到了广泛应用。在工程设计中，锚板的抗拔承载特性是设计和研究人员最为关注的核心问题。近年来，针对典型的浅埋水平条形锚板，国内外学者对其极限承载力与土体破裂机制展开了较为系统的研究：茜平一等[1]根据试验观察结果，分析了浅埋锚板周边土体的破坏特征。何思明[2]研究了条形锚板的抗拔破裂面形状。Gunn[3]提出了锚板上方土体的三变量块体破坏机制，给出了计算抗拔承载力的优化方法，同时借鉴圆环受力的弹塑性分析方法建立了锚板抗拔承载力的下限解答。Meyerhof等[4]结合模型试验，对地基中锚板的破裂面进行了简化，其假定破裂面在锚板边缘与竖直方向的夹角为φ/3～2φ/3(φ为土体内摩擦角)，并根据破坏体竖向力的平衡，推导了锚板抗拔承载力解答。Murray等[5]对砂土中锚板抗拔承载性能进行了研究，并结合极限平衡和极限分析方法给出了锚板承载力的上限解答。Yu[6]采用空腔膨胀理论计算锚板上方土体的塑性区，并根据塑性区的发展规律获得了锚板的抗拔承载力。王洪涛等[7]、黄阜等[8]采用上限分析与变分极值原理研究了非线性强度准则及其关联流动法则条件下土质或岩质地基浅埋条形锚板的抗拔承载特性。Merifield等[9]基于极限分析有限元法分析了黏土地基中倾斜浅埋锚板的抗拔承载特性。Saran等[10]基于锚板上方土体的斜线型破裂机制，考虑土体强度随深度逐渐发挥的特性，利用破裂体竖向力的平衡建立了锚板极限抗拔荷载的解析表达式。Wang等[11]基于三维弹塑性有限元方法，研究了饱和均质地基中条形锚板的抗拔承载系数与埋深率之间的关系。Singh等[12]对黏土地基浅埋锚板抗拔承载力的不同计算方法进行了对比分析。上述研究在浅埋锚板抗拔承载力计算和破裂机制刻画方面均获得了一些有益成果，为锚板设计与工程应用提供了理论基础。但不足的是，目前大部分研究均将地基土体视为均质介质，很少涉及非均质地基浅埋锚板抗拔承载特性的研究。

然而，在积压和附加荷载等因素的长期作用下，地基土体通常呈现出明显的非均质特性[13～14]，其对浅埋锚板的抗拔承载特性往往具有很大的影响。目前，Merifield等[15]、刘嘉等[16]、Tho等[17]以及Wu等[18]利用极限分析有限元法和弹塑性有限元法便于分析复杂对象和工况的优点，对饱和非均质地基中浅埋锚板的抗拔承载特性进行了一些探讨。但是，极限分析有限元法或者弹塑性有限元法的计算网格密度和模型参数对结果均有较大影响，同时建模和分析过程相对复杂、计算量大，不便于在实际工程中进行推广应用。极限分析上限法从能量角度出发，通过构建机动许可速度场将复杂的力学方程转化为功能关系，以实现具体工程问题的求解，该方法规避了繁琐的力学推演计算，便于应用与推广。鉴于此，本文拟采用该方法对非均质地基浅埋条形锚板的抗拔承载特性进行研究。具体思路为：首先，基于非线性Mohr-Coulomb(MC)强度准则及其关联流动法则，构造锚板上方土体在极限状态下的破裂机制与机动许可速度场；其次，根据极限分析上限法，采用变分极值原理推导锚板抗拔承载力及其上方土体破裂面的上限解；最后，通过对比分析验证该上限解答的有效性，探讨锚板埋深以及土体非均质和非线性强度特性对锚板抗拔承载力和土体破裂面特征的影响，以期为锚板设计提供一定参考。

1 土体的破裂机制与基本假设

对于非均质地基中浅埋水平条形锚板，在构建其上方土体的破裂机制时，做出如下基本假设：

①锚板为刚性体，其上方土体为理想刚塑性体且呈现整体破坏，即土体破裂面延伸至地表。同时，锚板与其上方土体之间不产生相对滑动，锚板拉杆及底面与土体间吸力可以忽略不计。借鉴文献[7～8]研究成果，构造出锚板上方土体在极限状态下的曲线型破裂机制，如图1所示。其中，锚板宽度为B(=2b)、埋深为H、破坏体在地表的宽度为2a、土体破裂面方程为待求函数f(z)。

图1 非均质地基浅埋水平条形锚板破裂机制Fig.1 Failure mechanism of the shallow horizontal strip anchor plate in heterogeneous soil

②锚板上方土体强度特性遵循非线性MC强度准则及其关联流动法则，即其屈服函数F和塑性势函数δ可表示为[19～20]：

式中：τn，σn——土体达到破坏时的剪应力与正应力；

c，σt——土体的初始黏聚力和单轴抗拉强度，二者满足c0≥0和σt≥0；

m——土体的非线性强度系数。

其中，1≤m≤2：m≥1保证莫尔强度包线是外凸的；当mgt;2时，莫尔强度包线的曲率半径小于莫尔圆的半径，二者将有两个交点，不满足莫尔强度包线的定义[21～22]。

③锚板上方土体强度随深度呈线性变化。对于服从非线性MC准则的非均质岩土材料，文献[19]认为初始黏聚力c是非均质的，而单轴抗拉强度σt和非线性强度系数m则是均质的。非均质地基土体的初始黏聚力c(z)为[19～20]：

式中：c0——地表的初始黏聚力；

λ——非均质系数。

2 锚板抗拔承载力上限分析

根据极限分析上限定理，如果锚板上方土体任意破裂机制下，上拔荷载、上方土体自重等外力的做功功率超过了土体破裂面的内能耗损率，则上方土体不可能承受所施加的荷载。因此，通过计算破裂面上的内能耗损率和外力做功功率，建立功率平衡方程，可以获得锚板上拔荷载的上限解，且其值必定大于或等于实际极限荷载[23～24]。

2.1破裂机构内能耗损率

联立式(3)和式(4)，得到破裂面的法向应力σn为：

式中：s——f(z)在区间[0,H]上的长度。

2.2外力做功功率

2.3抗拔承载力上限分析

根据虚功功率原理，锚板上方土体破裂面的内能耗损功率应等于其所受外力的做功功率，即：

将式(7)～(9)代入式(10)中，得到非均质地基浅埋水平条形锚板的抗拔承载力Qu为：

式中，Λ(·)为一泛函，具体表达式为：

根据极限分析上限定理，对于满足机动许可的任意速度场，式(11)确定的荷载应大于或等于锚板的真实极限上拔荷载，即真实速度场所确定的荷载必须为最小的。因此，必须寻求式(11)在对应区间上的最小值，才能更接近锚板的真实抗拔承载力。这里，式(11)中的Qu由积分型泛函Λ(·)所确定，根据变分极值条件，得到：

将式(12)代入式(13)，整理得到：

上述方程为含有变系数c(z)的二阶线性齐次微分方程。对该方程进行两次积分，得到：

式中：A1，A2——积分常数，由边界条件确定。

由于地表没有受到切向力的作用，可在地表土体破裂处选取微元体进行受力分析。根据该微元体在x方向的受力平衡条件，可得：

其中，θ=arctan[f′(H)]。将地表土体破裂处的法向应力和切向应力代入式(16)，可以求得：

同时，由图1可知，锚板上方土体破裂面在z=0时满足几何边界条件：

将式(15)和(17)代入式(18)，求得：

将式(17)和(19)代入式(15)中，整理得到极限状态下非均质地基浅埋水平条形锚板的破裂面方程为：

将式(20)代入式(11)中，得到锚板的抗拔承载力Qu为：

当λ=0时，式(21)将退化为均质地基中浅埋水平条形锚板的抗拔承载力计算公式，此时该表达式与文献[7]得到的结果一致。对于砂土，其服从线性MC强度准则，式(21)可以改写为：

式中：φ——表层砂土的内摩擦角；

λφ——砂土的非均质系数，描述其内摩擦角(密实程度)的变化。

3 方法验证与参数分析

3.1对比计算与方法验证

为验证本文所建立方法的有效性，表1给出了Meyerhof amp; Adams[4]以及Merifield等[15]所得到的浅埋条形锚板抗拔承载力计算公式。其中，前者是针对均质地基锚板抗拔承载特性问题，采用极限平衡方法建立的，可以考虑锚板上方土体自重(Qγ)、破裂面土体黏聚力(Qc)和破裂面摩擦力(Qφ)对抗拔承载力的贡献；后者是针对饱和黏土地基锚板抗拔承载特性问题，根据极限分析有限元方法的数值算例结果拟合得到的，仅考虑了Qγ和Qc的贡献。同时，Merifield等[14]对200多个数值算例的计算结果进行线性拟合，得到了非均质与均质饱和黏土地基浅埋条形锚板抗拔承载力的比例关系：

式中，Ncoλ和Nco分别为非均质与均质饱和黏土地基中浅埋锚板的抗拔承载力系数，二者均不计锚板上方土体自重的贡献。可见，式(23)仅反映了非均质与均质地基中浅埋条形锚板承载力Qc项的差异和关系。这里，为便于比较，对于均质地基，根据Meyerhof amp; Adams[4]的理论公式，对Merifield等[15]的拟合公式增加Qφ项；对于非均质地基，认为其非均质特性对锚板上方土体自重(Qγ)的影响可以忽略，而对破裂面上土体的黏聚力(Qc)和摩擦力(Qφ)则一致，即二者均可以采用比例关系式(23)来描述。

表1 浅埋条形锚板抗拔承载力计算公式

根据文献[12～15]和工程地质手册[24]，取土体重度为18 kN/m3、地表土体黏聚力为20 kPa、土体抗拉强度42 kPa(内摩擦角为25.3°)、锚板宽度为1 m、埋深率H/B为1～10、非均质系数为10 kPa/m。根据上述参数，采用Meyerhof amp; Adams[4]、Merifield等[15]以及本文方法计算了均质和非均质地基中浅埋水平条形锚板的抗拔承载力，图2给出了2种工况下锚板抗拔承载力随埋深率的变化关系。

图2 不同方法计算的浅埋条形锚板抗拔承载力Fig.2 Ultimate bearing capacity of the shallow strip anchor plate using different methods

可以看出，对于均质地基，m=1时，本文方法与Meyerhof amp; Adams[4]解答(ku=1)计算得到的锚板抗拔承载力完全相同，二者计算值均为最大；m=1.2时，本文方法与Meyerhof amp; Adams[4]解答(ku=0.75)以及Merifield等解答[15]所得到结果基本一致；m=2.0时，本文方法计算结果较其他方法要小，构成了锚板抗拔承载力的下界。对于非均质地基，Meyerhof amp; Adams[4]解答(ku=1)计算的锚板抗拔承载力最大；本文方法在m=1.0时的计算结果次之、在m=2.0时的计算结果最小；m=1.1时，本文方法计算值与Meyerhof amp; A dams[4]解答(ku=0.75)以及Merifield等解答[15]的计算结果吻合得很好。总体上，本文方法可以计算得到不同非均质系数、非线性强度系数条件下浅埋锚板抗拔承载力，且计算结果与Merifield等解答[15]和Meyerhof amp; Adams[4]解答基本一致。由此可见，本文方法所采用的曲线型破裂机制、地基土体非均质特性以及推导的抗拔承载力计算方法是可行、有效的。

3.2计算参数对锚板抗拔承载力的影响

式(21)表明，非均质地基中浅埋条形锚板的抗拔承载力受到土体非均质与非线性强度特性、土体力学参数以及锚板埋置方式等因素的影响。针对均质地基浅埋条形锚板，文献[7～8]较为系统地研究了土(岩)体重度、抗拉强度、初始黏聚力及锚板宽度等因素对其抗拔承载特性的影响。限于篇幅，本文主要分析地基非均质系数、非线性强度系数以及锚板埋深率对其抗拔承载特性的影响。采取“3.1”中计算参数，并取非均质系数为0～20 kPa/m、非线性强度系数1.0～2.0，图3绘制了埋深率H/B为2，4，6，8和10时锚板的抗拔承载力变化曲线。

图3 不同计算参数下浅埋条形锚板抗拔承载力Fig.3 Ultimate bearing capacity of the shallow strip anchor plate using different calculation parameters

可以看出，地基非均质和非线性强度特性对浅埋锚板抗拔承载力具有明显的影响：随着非均质系数的增大，锚板抗拔承载力呈现线性增加；而随着非线性强度系数的增大，锚板抗拔承载力则呈非线性减小。同时，增加浅埋锚板埋深率，可以有效地提高其抗拔承载力；而且，锚板埋深率越大，土体非均质和非线性强度特性对其抗拔承载力的影响趋势也越显著。

3.3计算参数对锚板破裂面特征的影响

为进一步分析不同参数对极限状态下锚板上方土体破裂面特征的影响，采取“3.1”中计算参数，并取锚板埋深率H/B为2，4，6和8、非均质系数为0，5，10，15和20 kPa/m、非线性强度系数1.0，1.25，1.5，1.75和2.0，图4根据式(20)计算给出了浅埋锚板上方土体的破裂面形状。

图4 不同计算参数下浅埋条形锚板破裂面形状Fig.4 Failure mechanism of the shallow strip anchor plate using different calculation parameters

可以看出，在其他计算参数保持不变的条件下，锚板上方土体破裂面的深度及其在地表的破裂宽度均随着埋深率的增大而逐渐增加；同时，土体的非均质和非线性强度特性对其破裂面形状和范围具有显著的影响：锚板埋深率相同时，土体非均质系数越大，其破裂宽度也越大；但是，随着土体非线性强度系数的增加，其破裂面宽度则越小；此外，非均质系数为零(均质地基)或非线性强度系数为2(服从抛物线型强度准则)时，锚板上方土体的破裂面呈两侧对称的喇叭型(即内凸型，图4中仅给出其右侧部分)，其与文献[1～2]的研究结论一致；但是，随着非均质系数的增大和非线性强度系数的减小，土体破裂面的形状逐渐由喇叭形(内凸)演变为碗状形(外凸)，且在相同深度处，其破裂宽度也随之增加。由此可见，锚板埋深对其土体破裂面的范围(深度和宽度)影响显著，而地基非均质和非线性强度特性则对其破裂面的范围以及形状均明显的影响。

4 结论

(1)考虑地基土体的非均质特性，基于非线性MC强度准则及其关联流动法则，构造了浅埋水平条形锚板的曲线型破裂面与机动许可速度场，采用极限分析上限法和变分极值原理推导了锚板抗拔承载力及其上方土体破裂面的上限解。

(2)分析了锚板埋深、土体非均质和非线性强度特性对锚板抗拔承载力和土体破裂面特征的影响。结果表明：随着锚板埋深和土体非均质系数的增大以及非线性强度系数的减小，锚板抗拔承载力逐渐增加；土体破裂面的深度和宽度受到锚板埋深及土体非均质和非线性强度特性的影响，同时其形状受到土体非均质和非线性强度特性的影响。

(3)将本文方法与已有极限平衡和极限分析有限元方法进行了比较，所得计算结果与已有研究基本一致，验证了方法的有效性。但是土体强度参数、破裂机制等的影响因素众多，本文方法的工程适用性和参数确定方法仍需进一步研究。

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责任编辑

：张明霞

Upperboundanalysisofthepulloutcapacityofshallowhorizontalstripanchorplateembeddedinheterogeneoussoils

HUANG Minghua, HU Qian, HUANG Yanjie, ZHAO Minghua

(InstituteofGeotechnicalEngineering,HunanUniversity,Changsha,Hunan410082,China)

Considering the heterogeneity of soils, a kinematic admissible velocity field was constructed to characterize a proposed curve failure mechanism of soils above the shallow strip anchor plate on the basis of the nonlinear Mohr-Coulomb criterion and the associated flow rule. The ultimate pullout force and failure mechanism of the shallow strip anchor plate were derived using the upper bound analysis method and the variation minimum principle. The influences of the embedded depth, heterogeneity and nonlinear strength features on its ultimate pullout force and failure mechanism were discussed, and comparisons between this upper bound solution and the existing solutions were also conducted. The results show that the embedded depth, heterogeneity and nonlinear strength features have obvious effects on the ultimate pullout force and failure mechanism of the shallow strip anchor plate. With the increases in the embedded depth and heterogeneity coefficient as well as the decrease in the nonlinear strength coefficient, the ultimate pullout force of the shallow strip anchor plate increases together with the failure zone (depth and width) of soils. The calculation results of this upper bound solution show good agreements with those of the limit equilibrium method and limit analysis by the finite element method, which shows the effectiveness of this proposed curve failure mechanism and heterogeneity law of soils, and provides some references for the design of shallow strip anchor plates.

strip anchor plate; heterogeneous soils; upper bound analysis; pullout characteristics; nonlinear strength criterion

10.16030/j.cnki.issn.1000-3665.2017.06.06

TU431

A

1000-3665(2017)06-0037-07

2017-04-22;

2017-05-26

国家自然科学基金项目资助(51508180)；中国博士后科学基金项目资助(2015M570678)；中央高校基本科研业务费项目资助

黄明华(1983-)，男，博士，助理教授，主要从事岩土工程科研与教学工作。E-mail: hmh666@163.com