安徽省阜阳市第三中学(236000) 凡胜富

安徽省阜阳市颍泉小学(236000) 蒋 娟

图解法在解决平面向量一类问题中的应用

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安徽省阜阳市颍泉小学(236000) 蒋 娟

平面向量是数形结合思想的有效载体.其中一些平面向量试题,其题面精巧、问题设置巧妙,常常以向量的几何特征来呈现命制,充分抓住向量几何特征,构建图形挖掘几何性质,给解题带来简便.

平面向量 图解法 几何特征 数量积

向量是几何与代数交汇的数学知识,融“数”“形”于一体.为此,在解决平面向量的某些问题时,如果能抓住向量既具有数又具有形的特征,运用数形结合的思想,根据题目中的已知条件,恰当地构造出符合题意的图形,利用图解法去分析或发现其中隐藏的几何性质,往往能达到事半功陪的效果.下面举例说明之,供读者参考.

1、利用几何意义构造图形来处理

例1设非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则b与a+b的夹角()

A.30◦B.60◦C.120◦D.150◦

图1

评注 借助向量加减法的几何意义,构造平行四边形OACB,利用|a|=|b|=|a-b|这一条件进一步得到菱形,把题设中涉及的向量b与a+b放置在图形中,再利用图形的几何性质来处理,是解决这类问题的常用方法.

例2 已知平面向量α,β(α/=0,α/=β)满足|β|=1,且α与β-α的夹角为120◦,则|α|的取值范围是____

解 不妨设α,β共起点O,且如图构造三角形.由题意可知,在△OAB中,

OB=1,∠A=60◦,

图2

评注 根据条件|β|=1,和α与β-α的夹角为120◦,构造三角形,把向量问题转化为平面几何问题,使用正弦定理,构造OA关于角B的函数求解,使得问题简化易求.

例3已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若对任意单位向量e,均有则a·b的最大值是____.

图3

当A,B重合于两圆交点Q时,|O1A1|+|O2B1|取到最大值此时,在△O1QO2中,因此a·b的最大值为

2、定向量与动向量考虑投影处理

图4

解 根据已知条件,CP为△ABC的边AB上的中线,且其长度为AB的一半,因此△ABC为直角三角形,且C为直角.

评注 图解过程中,如何表示某两个向量的数量积为定值往往是关键,题设中的如何使用是解题的难点,的夹角及未知,而对于动向量与定向量的数量积时,可以考虑利用数量积的几何意义把数量积转化动向量在定向量上的投影来处理,使得问题迎刃而解.

3、两动向量考虑极化恒等式处理

例5 如图5放置的边长为1的正方形ABCD顶点分别在x轴、y轴正半轴(含原点)滑动,则的最大值为____.

解 根据极化恒等式：4a·b= (a+b)2-(a-b)2,设E为BC的中点,由极化恒等式可得：

图5

评注 由于正方形ABCD顶点滑动,故均为动向量,其模长、夹角均未知,不便直接求解,若用代数方法处理必然需多个参量运算复杂.极化恒等式4a·b=(a+b)2-(a-b)2是一个较为明显的结论,恒等式有较丰富的内涵,它将平面向量的数量积和模联系在一起,此恒等式与向量加法的平行四边形法则结合把向量数量积问题转化为模的运算问题,这一巧妙的处理方法,为我们解题提供了一种新的思路.

链接高考

1.(2011全国卷2理12)设向量a,b,c满足|a|=|b|=的最大值等于()

2.(2016浙江卷文15)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|= 2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是____.

3.(2016江苏卷理13)如图6,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,则的值是___.

图6

高中阶段的平面向量运算都具有明显的几何意义,充分抓住平面向量的几何特征,从“形”这一角度打开思维入口,继而将向量问题转化为平面几何问题借助数形结合处理,该做法是向量试题中较为常见且隐蔽性又较强的一种处理策略,它对学生综合分析、运用知识的能力提出了一定的要求,要求学生具有较好的数学素养,同时也更好地提高了学生分析问题、解决问题的能力.

[1]刘胜林.向量试题中的几种求解视角.数学通讯,2015(3)：3-4