三角、向量是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的热点之一.由于三角函数和平面向量的知识具有公式繁多、性质独特、变化灵活、渗透性强等特点，使解决三角函数和平面向量问题较其他的代数问题更趋于隐蔽，解题的过程有更多陷阱，解题的思维更需慎密.因此，解题时稍有不慎，往往会出现增解、漏解，甚至错解的现象.本文结合具体实例剖析解决三角函数和平面向量问题时常见的错误情况，供同学们参考.

一、三角函数易错点

1.忽视三角函数的定义域而致错

例1求函数f（x）=sinxcosx1+sinx+cosx的递增区间.

错解：设t=sinx+cosx，则sinxcosx=t2-12，于是

f（x）=t2-12（1+t）=t-12=sinx+cosx-12

=22sin（x+π4）-12.

由2kπ-π2≤x+π4≤2kπ+π2，

解得函数f（x）递增区间为

[2kπ-3π4，2kπ+π4]（k∈Z）.

错因剖析：上述解法忽略了函数的定义域.因为题目中分母不能为零，即1+sinx+cosx≠02sin（x+π4）≠-1x≠2kπ-π2且x≠2kπ-π.

所以函数f（x）递增区间为[2kπ-3π4，2kπ-π2）及（2kπ-π2，2kπ+π4]（k∈Z）.

从以上例题可以看出在解分母中含三角函数问题，特别是变形时分母发生变化后一定要注意函数的定义域，所求解是不是符合原函数的定义域.

2.忽视三角函数的有界性而致错

例2已知sin2α+sin2β+cos（α-β）=2，求sinα+sinβ的取值范围.

错解：令t=sinα+sinβ，则t2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ①

又sin2α+sin2β+cos（α-β）=2②，

由①②得：t2=2sinαsinβ-cos（α-β）+2

=-cos（α+β）+2，

∴1≤t2≤3，∴-3≤t≤-1或1≤t≤3.

错因剖析：由已知

cos（α-β）=2-sin2α-sin2β

=2-1-cos2α2-1-cos2β2

=1+12（cos2α+cos2β）

=1+12{cos[（α+β）+（α-β）]+cos[（α+β）-（α-β）]}

=1+12[cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）+cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）]

=1+cos（α+β）cos（α-β），

∴cos（α-β）[1-cos（α+β）]=1，

∵1-cos（α+β）≥0，∴0

∴1-cos（α+β）≥1，-1≤cos（α+β）≤0，

∴t2=2-cos（α+β）∈[2，3]，

∴-3≤t≤-2或2≤t≤3.

本题在条件中隐含了-1≤cos（α+β）≤0，故在三角变形中不挖掘出这个条件就会造成错误.

3.忽视三角函数的单调性而致错

例3已知α，β∈（0，π2），且cosα=55，cosβ=1010，求α+β的值.

错解：∵α，β∈（0，π2），且cosα=55，cosβ=1010，故sinα=255，sinβ=31010，

又∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=255×1010+55×31010=22.

由α，β∈（0，π2）知α+β∈（0，π），所以α+β=π4或α+β=3π4.

错因剖析：由于正弦值为22的角在（0，π）上不唯一，才造成两解.正确的解法是取余弦，因为余弦函数在（0，π）上是单调递减的，这样才不会扩大解集.

因为cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=55×1010-255×31010=-22.由α+β∈（0，π），且余弦函数在（0，π）上是单调递减，所以α+β=3π4.

4.忽视条件等式对三角函数的角或值……