都俊杰 长江大学工程技术学院

关于计算二重积分的几种方法

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二重积分是高等数学的重点，也是难点，计算较为繁琐，基本的有直角坐标和极坐标计算，但有的二重积分需要一定的技巧才能求出．可利用积分区域和被积函数的对称性巧妙解决，讨论了几类解决二重积分方法。

二重积分 二次积分 直角坐标系 极坐标系

二重积分的计算是高等数学中多元函数积分学重要的一部分，熟练的掌握二重积分的计算技巧很重要。计算二重积分的一般原则是将重积分化为两次定积分来计算，但是由于被积函数的复杂性及积分区域的多样性，计算二重积分就要采取多种方法。有直角坐标系计算二重积分，极坐标系下计算二重积分，利用对称性计算二重积分等等。下面分别就这三个方面介绍计算二重积分的方法，对每种方法给出相应的求解思路，并举出典型的实例，便于读者更好地理解和掌握这些方法，达到事半功倍、举一反三的学习效果。

1 直角坐标系下计算二重积分，将积分区域D分为两种基本情况。

2 极坐标系下计算二重积分

当被积函数和积分区域D的边界曲线为较简单函数时，常考虑用极坐标来计算二重积分。这样就会遇到两个问题：一个问题是如何把被积函数化为极坐标形式；另一个问题是如何把面积元素化为极坐标形式。这两个问题都是容易解决的，当被积函数或者积分区域D中含有时可以用极坐标来计算二重积分。……