杨大平

(湖北省宜都市第二高级中学，湖北 宜昌 443311)

新高考下的数学探讨

杨大平

(湖北省宜都市第二高级中学，湖北 宜昌 443311)

本文主要通过对近几年的高考真题的分析和研究，甄选出一些较为典型性的例题进行探讨，并介绍了一些行之有效的解题技巧和方法，希望能为高考学生在学习数学过程中提供一些有效的指导和帮助.

高考；数学；考点

一、真题回放

2016 年全国高考新课标Ⅰ卷第 11 题(文理同题)是一道立体几何题，对考生对于概念的理解，空间想象能力和几何直观要求较高，原题如下：

平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( ).

二、考点探究

本题紧扣考试大纲，延续了新课标Ⅰ卷的命题特点：题干简练，在注重考查数学基础知识、基本技能以及基本思想方法的同时，考查了学生的数学能力.只不过是稳中求变，今年的 11题只有文字表达无配图，且题目中的两条交线是需要作出来的，因此需要学生去操作.另外，本题对公理 3(如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线)的运用也做了考查，这是以前没有的，它体现了立体几何问题考查的新视角，也提醒我们要适当关注考试大纲中的“冷点”.

该题涉及的考点有面面相交公理、面面平行判定定理、性质定理，直线所成的角、正方体的性质等，考查全面，而且能力点考查到位，空间想象，化归转化，计算求解能力体现得淋漓尽致，而此题与 2015 年新课标Ⅱ卷立体几何解答题可谓同源，作图是求解的关键，虽然此题考生出错率较高，但确实是一道不可多得的好题.

三、解题指津

方法一：补形法

分析求m、n所成角的正弦值,首先想到的就是画出m、n这两条直线，如何画出来呢？结合公理3可有如下解法.

在原正方体的左边补上正方体AEFD-A1E1F1D1,显然AF∥A1F1∥B1D1⟹AF∥面CB1D1,AE1∥BA1∥CD1⟹AE1∥面CB1D1.又AF∩AE1=A,因此面AEF∥面CB1D1，所以面AEF就是平面α.这样，AF就是m,AE就是n.

点评通过补形，将m、n作出来是解题的关键，也是难点所在，后面的计算就是简单的事情了.

方法二向量法

分析能否尝试利用空间向量来处理呢？

首先我们建立空间直角坐标系D-ACD′，

得到相关点的坐标B1(1,1,1),C(0,1,0),D1(0,0,1).

根据题意m、n分别在平面ABCD和平面ABB1A1内，

点评几何问题代数化，借助坐标求解是通法， 向量具备了形的特点，数的精确，所以利用空间向量解决立体几何的“角”“距”问题是个常规思维.但是，此题中直线m、n的方向向量的设法学生较为生疏，另外用向量做也有“小题大做”之嫌，故此法针对这个题目并不是最佳解法.

四、教学建议

好题自有好源，正所谓：“问渠哪得清如许，为有源头活水来”，源在哪里呢？本题可以看成是源于教材——人教A版《必修 2》P57例2变形而来的.

例2 如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′

求证：平面AB′D′∥平面C′BD.

这个例题，初看起来，似乎与考题并不相关，但是，从动态的角度去看：将平面AB′D′沿着CA′方向平移使其经过点A′就会得到此考题的模型，由此就不难得到方法2的思路了，其过程自然也是水到渠成.在研究几何问题时，可以让其由静态问题，经过动态的变化，衍生出更加丰富多彩的问题来，我们根据已有的数学基本活动经验进行类比联想，回到最为为熟悉的状态(这也正是教材中的经典例习题的又一作用之所在)，看清问题的本质，实现思维方法的正迁移.

总之，数学教材是数学学习的重要载体，也是考题之源，正所谓“众里寻她千百度，蓦然回首教材中”.很多高考题在选材立意上，以教材中核心概念、性质法则、定理公式和例题习题为载体，以主干内容和通性通法为重点，检测考生对教材知识和方法的理解与掌握的熟练程度；在情境创新上，以教材中原料作为命题元素，依托于整合迁移演变，将解决问题的数学思想方法、数学能力内隐其中进行命题，反映数学的本质.

基于上述观点，在复习备考中我们要积极挖掘教材内容，弄清知识的本质与内在联系，注重例习题的变式探究，这样就会根实本固 ，有的放矢.我们还要让学生知道高考试题的来龙去脉，领悟课本知识与高考试题的内在联系，养成从课本到高考、再从高考回到课本的良性循环的复习习惯.与此同时，我们要深入研究全国课标卷，通过对近年全国课标卷的研究，明确考试的重点与难点，准确把握全国课标卷的命题特点与命题规律,做到以不变应万变，对问题认识既入乎其内，又要出乎其外，这样我们的复习备考就会事半功倍.

[1]张晓斌，熊丙章，江楠.新课程高考与高中数学教学适应性研究[J].中学数学,2015(09)：26-29.

[2]陈梅芳.依托“分解” 揭示“联系” 提高“能力”——2016年高考全国Ⅰ卷理科数学试题例探[J].学苑教育,2016(24):50-51.

[责任编辑：杨惠民]

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1008-0333(2017)25-0033-02

2017-07-01

杨大平(1972.03-)，男，湖北省宜昌人，中学一级，本科，从事高中数学教育.