段连伟，赵胜芝

(辽宁大学 数学院,辽宁 沈阳 110036)

混合时滞级联切换系统的指数稳定

段连伟，赵胜芝*

(辽宁大学 数学院,辽宁 沈阳 110036)

切换系统是一类重要的混杂系统.在实践中有着广泛地应用.研究含有混合时滞的级联非线性切换系统的指数稳定问题.

级联系统；混合时滞；指数稳定

1 问题陈述

考虑如下非线性级联切换系统

(1)

定义1如果切换系统(1)满足

‖x(t)‖≤α1‖x(t0)‖ce-β1(t-t0),∀t≥t0,

(2)

定义2对任意的时间T2>T1≥0和给定的切换信号σ(t),如果存在τa>0和N0≥0,满足

(3)

其中Nσ(T1,T2)表示在[T1,T2)内的切换次数,则称τa为平均驻留时间,N0叫做振荡界.不失一般性,取N0=0.

假设1存在常数η≥0,满足

0

(4)

假设2假设存在Z>0光滑正定函数Wp(x2(t)),存在bp>0,q1>0,q2>0(p∈S),满足

(5)

q1‖x2‖2≤Wp(x2)≤q2‖x2‖2.

(6)

引理1对于∀x,y∈Rr,∀ε>0,存在正定对称矩阵Π,满足不等式

(7)

引理2对于任意适当维数的矩阵Z>0及标量τ2>τ1>0,下列不等式成立

(8)

其中τ12=τ2-τ1.

2 主要结果

对于切换系统(1),有以下指数稳定结果.

定理1如果存在ε>0,μ≥1和正定对称矩阵Pi,Qi,Zi,Yi,Hi,Mi,Ei,Ti,满足

(9)

Pi≤μPj,Qi≤μQj,Zi≤μZj,Yi≤μYj,∀i,j∈S,i≠j,

(10)

且平均驻留时间τa满足

(11)

则混合时滞级联切换系统(1)指数稳定.

证明选取如下Lyapunov-Krasovskii函数

(12)

沿着系统(1)的轨迹,可得

由引理2,可得

由引理1,可得

(13)

(14)

(15)

由(13)-(15),可得

其中

(16)

(17)

(18)

(19)

从而有

(20)

由(10)和(12),可得

Vi≤μVj,∀i,j∈S,i≠j.

(21)

因此当t∈[tk,tk+1)时,有Vσ(t)(t)≤e-α(t-tk)Vσ(tk)(tk).

由(12)和假设2,可得

Vσ(t)(t)≥d1‖x1(t)‖2+q1‖x2(t)‖2,

其中d1=min{λmin(Pi),i∈S}.

(22)

其中

d2=max{λmax(Pi),i∈S}+H·max{λmax(Qi)+λmax(Zi)H+λmax(Yi)hu,i∈S},

δ1=min{d1,q1},δ2=max{d2,q2}.

进而有

(23)

其中x(t)=(x1,x2)T.从而有

所以

‖x(t)‖≤α1‖x(t0)‖ce-β1(t-t0).

(24)

因此时滞级联切换系统(1)指数稳定.

[1] Li S,Xiang Z R,Karimi H R.Stability andL1-gain controller design for positive switched systems with mixed time-varying delays[J].Applied Mathematics and Computation,2013(222):507-518.

[2] Zhai J Y,Wang B,Fei S M.Tracking control for switched nonlinear systems with muitiple time-varying delays[J].Nonlinear Analysis:Hybrid Systems,2015(17):44-55.

[3] Jin Y,Fu J,Zhang Y M,Jing Y W.Reliable stabilization of switched system with average dwell-time approach[J].Journal of the Franklin Institute,2013(350):452-463.

(责任编辑郑绥乾)

ExponentialStabilityofCascadeSwitchedSystemswithMixedDelays

DUAN Lian-wei，ZHAO Sheng-zhi*

(SchoolofMathematics,LiaoningUniversity,Shenyang110036,China)

Switched systems are a class of hybrid systems.It has been widely used in practice.This paper studies the exponential stability problem for cascade switched systems with mixed delays.

cascade systems;mixed delays;exponential stability

2016-11-14

段连伟(1986-),男,山东潍坊人,硕士研究生,研究方向：非线性级联切换系统.

*

赵胜芝(1965-),女,辽宁铁岭人,教授,研究方向：非线性切换系统.

O 231

A

1000-5846(2017)03-0193-04