周龙健， 罗景青， 俞志富， 吴世龙

解放军电子工程学院， 合肥 230037

一种运动双站多脉冲无源定位算法

周龙健， 罗景青*， 俞志富， 吴世龙

解放军电子工程学院， 合肥 230037

针对运动双站对已知高度的地面目标辐射源高精度定位问题，借鉴SAR成像原理和直接定位法思想，提出了一种利用空中两运动侦察站接收到目标多脉冲信号间的到达时间差(TDOA)和到达频率差(FDOA)信息的无源定位算法。采样时将观测时间分为快时间和慢时间，在快时间域估计时差，慢时间域估计频差，具体方法为：首先将两侦察站的采样信号在频域互相关，然后利用参考函数和广义Keystone变换消除距离单元徙动，再通过二维傅里叶变换得到目标位置点的TDOA和FDOA联合估计值，最后将时差频差联合估计值通过几何关系映射到目标的空间位置。仿真结果表明信噪比较高时逼近直接定位法的克拉美罗下限(CRLB)，信噪比较低时仍然可以定位。此外，本文算法不仅计算量小，且适用于不可区分多目标辐射源定位问题，具有高精度和超分辨特性。

无源定位； 合成孔径雷达； 直接定位法； 频域互相关； 广义Keystone变换

无源定位具有探测距离远、电磁隐蔽性好等优点，已成为各国研究的热点。传统无源定位方法[1-5]通过多次测量得到目标的到达方向(Direction of Arrival, DOA)、到达时间差(Time Difference of Arrival, TDOA)、到达频率差(Frequency Difference of Arrival, FDOA)等参数，然后对多次测量参数进行融合来定位，但是在多目标情况下需要进行信号分选和参数配对。

随着电子对抗技术的发展，通常在重点目标雷达辐射源周围布置有源诱饵雷达，来达到电子对抗反侦察、反干扰目的，此时就出现不可区分多目标定位问题。不可区分多目标是指在观测期间无法将采样信号、观测参数与目标对应的情况，例如在一个时间片内采集到多个目标辐射源的混合信号，信号在同一侦察波束内且时域频域混叠，不能确定采样信号是来自哪个目标或者哪几个目标。此时，传统定位方法就变得无能为力。近年来，Weiss[6]提出了直接定位法(Direct Position Determination, DPD)，直接利用采样信号估计目标辐射源位置，无需进行参数测量。文献[6]给出了多观测站下单个窄带目标辐射源的最大似然估计算法，文献[7]介绍了直接定位法优势，文献[8]分析了在存在多径效应、阵列误差以及互耦引起的模型误差情况下的直接定位法，文献[9]研究了多目标辐射源情况下的直接定位法。文献[10-11]研究了基于TDOA和FDOA的最大似然估计的直接定位法。文献[12]研究了最大似然估计得到的互模糊矩阵与互模糊函数的转换关系，达到简化运算目的。文献[13-15]研究了基于稀疏表示的直接定位法。纵观上述直接定位方法，均需要进行多维搜索，计算量比较大。

从定位角度看，SAR成像是另一种形式定位。SAR利用回波信号相关性，通过累积目标与侦察接收机之间相对运动产生的多普勒频率提高波束垂直向上的分辨率，从而在运动方向上合成等效雷达孔径，实现方位向的高分辨成像[16-18]。近年来，很多学者对双基地合成孔径雷达[19](Bistatic Synthetic Aperture Radar, Bi-SAR)进行了研究。Bi-SAR把发射机安装在飞行高度较高的载体上，把接收机安装在机动性较高的低飞行高度的载体上，实现对观测区域成像。SAR通过对采样数据进行距离走动校正，再利用二维傅里叶变换分别在快时间域和慢时间域得到到达时间和多普勒频率联合估计值，并映射到二维平面，达到成像目的。若是将到达时间和多普勒频率看作是位置坐标，SAR成像可以看作是一种特殊的直接定位。

为实现运动双站对已知高度目标辐射源高精度的定位，同时避免直接定位法求解过程中多维搜索计算量大、实时性差问题，本文提出一种利用运动双站接收目标辐射源多脉冲信号的TDOA和FDOA信息的无源定位算法。借鉴SAR成像原理，将整个观测时间划分为快时间(脉内时间)和慢时间(脉间时间)，在快时间域估计时差，慢时间域估计频差，并将时差、频差联合估计值通过几何关系映射到目标辐射源位置。与Bi-SAR相比，该方法利用的是到达两侦察站的距离差与多普勒频差进行定位，Bi-SAR利用的是到达两侦察站的距离和与多普勒频率和进行定位；与传统两步定位法相比，该方法直接对观测时间内多个脉冲采样信号进行信息融合，联合估计TDOA和FDOA，并映射到目标位置，即此时得到的TDOA和FDOA可以看作是目标位置的另一种表示形式；与经典互模糊函数(CAF)相比，该方法将观测时间划分为快时间和慢时间，并在快时间域对距离单元徙动进行校正，利用广义Keystone变换消除快频率与慢时间耦合，然后联合估计TDOA和FDOA，CAF是在整个观测时间内对不同的时延和不同的频偏进行的二维响应，并没有进行距离单元徙动的校正和快频率与慢时间耦合项的消除。

1 信号模型

图1为运动双站无源定位示意图，采用正球面模型，以地心为圆心建立空间直角坐标系。0时刻两侦察站位置矢量分别为P1=[x1y1z1]T和P2=[x2y2z2]T，速度矢量分别为V1=[vx1vy1vz1]T和V2=[vx2vy2vz2]T。PO=[xOyOzO]T为观测区域中心参考位置点O的位置坐标，PA=[xAyAzA]T为观测区域任一点目标A位置坐标。令地球半径为R，目标辐射源距地面高度为h，则目标位置满足：

(1)

图1 运动双站无源定位示意图
Fig.1 Passive localization of bistatic moving stations

假定目标辐射源发射的第m个脉冲信号的包络为sm(tr,tm)，载频为fc，对信号下变频至fi，则侦察站P1和P2接收到的第m个脉冲信号为

(2)

(3)

式中：tr和tm分别为快时间和慢时间。

(4)

(5)

2 无源定位算法

2.1 频域互相关[20]

假定目标辐射源第m个脉冲信号的快时间域的傅里叶变换为Sm(fr,tm)，则两侦察站接收到信号在快时间域的频谱分别为

X1(fr,tm;A)=Sm(fr-fi,tm)·

(6)

X2(fr,tm;A)=Sm(fr-fi,tm)·

(7)

对两信号进行共轭互相关运算，可得

XPL(fr,tm;A)=

|Sm(fr-fi,tm)|2exp(jφPL(fr,tm;A))

(8)

式(8)的相位项为

(9)

其中：

RPL(tm;A)=R1(tm;A)-R2(tm;A)

(10)

当到达两侦察站距离差比较大时，式(9)的相位存在模糊。在具体处理过程中，首先粗略估计辐射源信号到达两侦察站的时间差，增加固定时间延迟，使到达两侦察站时间差小于采样脉冲时间，从而去除相位模糊。

2.2 距离单元徙动校正和位置计算

对式(10)的RPL(tm;A)采用泰勒级数展开为

RPL(tm;A)=rPL(A)+vPL(A)tm+

(11)

式中：rPL(A)和vPL(A)分别为tm=0时，相对于目标辐射源A的瞬时距离和瞬时径向速度，即

rPL(A)=RPL(0;A)

(12)

(13)

系数kn(A)为

(14)

在二维时域平面上，瞬时径向速度vPL(A)产生的是线性的距离单元徙动(Range Cell Migration, RCM)，系数kn(A)产生的是非线性的RCM。

在目标辐射源所在的观测区域已知情况下，以观测区域中心O为参考点，构建参考函数为

Xref(fr,tm;O)=exp(j2πφPL(fr,tm;O))

(15)

其相位为

(16)

将式(8)与参考函数共轭相乘后，可得

XRFM(fr,tm;A)=

|Sm(fr-fi,tm)|2exp(j2πθRFM(fr,tm;A))

(17)

式(17)相位为

θRFM=φPL(fr,tm;A)-φPL(fr,tm;O)≈

(18)

若是在定位区域较小的情况下，可以近似地认为

kn(A)-kn(O)≈0

(19)

但是在定位区域较大情况下，目标位置点A离参考点O较远时其近似误差则不能忽略。为更加精确地逼近式(18)中的kn(A)，文献[21]采用多元泰勒定理将kn(A)展开成关于距离rPL(A)-rPL(O)和径向速度vPL(A)-vPL(O)的线性组合形式，即

kn(A)-kn(O)=αn(rPL(A)-rPL(O))+

βn(vPL(A)-vPL(O))+Δ

(20)

式中：

其中：Δ为泰勒级数展开后的高阶量，当高阶量Δ产生的线性走动小于一个距离单元时，可以保证时差、频差能量很好的聚焦，此时可以忽略Δ。因此，在选择参考点时必须保证在观测时间内高阶量产生的距离走动小于一个距离单元。αn和βn为与目标辐射源A位置点有关的函数，并利用隐函数求导方式，得到系数αn和βn分别为

αn=

(21)

βn=

(22)

式中：θ为目标位置的方位角；φ为目标位置的俯仰角。

结合式(20)、式(21)和式(22)，式(18)可以转化为

(23)

从式(23)可以看出，存在着慢时间tm的高阶项，快频率fr和慢时间tm之间具有非线性的耦合关系。为消除快频率fr和慢时间tm的耦合关系，定义广义Keystone变换为

(24)

根据式(24)，分别在快时间域和慢时间域利用Stolt插值进行二维重采样，即可得到变换后信号为

(25)

对二维重采样后信号进行二维傅里叶变换，即可得到关于目标辐射源所在位置时差、频差聚焦的二维图像。二维傅里叶变换公式为

(26)

为了获得更高精度的时差tr和频差fm估计值，可以在最大值点附近进行二维插值运算，寻找最大值点，在此不再赘述。

3 仿真分析

为了验证本文所提算法的有效性，分别对单目标和多目标情况下进行了仿真实验，并将单目标情况下定位精度与直接定位法和克拉美罗下限(Cramer-Rao Lower Bound，CRLB)对比。

图2(a)给出了距离单元徙动校正前到达时间差随慢时间的变化情况，从图中可以看出到达时间差随慢时间tm而变化，跨越多个距离单元。图2(b)给出了距离单元徙动校正后到达时间差随慢时间的变化情况，此时到达时间差在慢时间域基本保持不变，处于同一个距离单元内。图2(c)和图2(d)分别给出了到达时间差向和多普勒频差向剖面图，可以看出在到达时间差向和多普勒频差向均可以达到很好的聚焦效果。图2(e)为未进行距离单元徙动校正的定位结果，图2(f)为经过距离单元徙动校正后定位结果。从图2(e)和图2(f)对比可以发现，图2(e)定位结果是一片区域，且跨越多个距离单元和频差单元，图2(f)定位结果是一个点，具有更高的定位精度和分辨率。图2(f)中峰值点位置对应的到达时间差为235.28 μs，多普勒频差为-8.038 0 kHz，此位置对应于空间经纬度坐标为[88.469 8°E 46.470 1°N]，对应的距离误差为19.675 2 m。从上述仿真结果可以看出，本文所提位置点成像无源定位算法具有有效性。

图3为在上述仿真条件下，通过对最大值附近进行二维插值运算后得到的本文算法在不同信噪比下的定位误差，并与直接定位法、CRLB (详见附录A)进行对比。

图2 单目标无源定位结果
Fig.2 Results of passive localization of single target

从仿真结果可以看出，高信噪比下本文算法的定位精度与直接定位法定位精度相当，接近CRLB，且在信噪比较低时，仍然具有较高定位精度，当信噪比为-16 dB时，定位误差方差可以达到2 126.03 m2，但是当信噪比低于-16 dB时定位误差急剧增大，甚至无法定位。直接定位法的信噪比门限为-18 dB，比本文算法高2 dB，但是其计算量和复杂度远远高于本文算法。

图3 不同信噪比下运动双站无源定位误差
Fig.3 Passive localization error of bistatic movingstations at different SNRs

图4 多目标无源定位仿真
Fig.4 Simulations of passive localization of multipletargets

4 结 论

提出一种运动双站对已知高度的地面固定宽带目标辐射源的无源定位算法。将采样时间划分为快时间和慢时间，利用参考函数和广义Keystone变换消除距离单元徙动，通过二维傅里叶变换得到TDOA和FDOA联合估计值，最后利用得到的TDOA和FDOA映射到目标的空间位置点。该算法具有如下优势：① 信号模型中引入距离差走动，更贴近实际；② 与两步定位法相比，不需要进行信号分选和参数配对，适用于不可区分多目标辐射源定位问题；③ 方法简单，计算量小；④ 定位精度高，分辨率好。

由于相干信号频域互相关运算时存在耦合交叉项，因此该算法无法解决多个相干信号源的无源定位问题。在下一步工作中将针对相干信号源多目标问题进行研究。

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(责任编辑： 苏磊)

附录A:

在此，推导多脉冲直接定位法的CRLB。采用离散信号模型推导直接定位法的CRLB，且推导过程中，认为采样时间内信号的频差为一常数，同一脉冲内由于频差造成的相移为一常数。

则两侦察站接收到离散采样信号可以表示为

Rm=Xm+Wm

(A1)

RΔτm=A′ej2πΔftmFHDΔτmFXm+WΔτm

(A2)

式中：Xm为侦察站1接收到的经离散采样后的第m个脉冲的信号部分；Wm和WΔτm分别为侦察站1和侦察站2接收到的第m个脉冲的噪声部分；A′为两侦察站接收到信号的传输损耗比；Δf为多普勒频差；tm为第m个脉冲起始采样时间；F为N×N维的DFT矩阵，N为单个脉冲采样数；DΔτm为N×N的时间延迟矩阵，Δτm为第m个脉冲到达两侦察站时间差，即

Δf=f2-f1

(A3)

(A4)

(A5)

n=[-N/2 -N/2+1 …N/2-1]T

(A6)

(A7)

(A8)

Δτm=τ2m-τ1m

(A9)

(A10)

(A11)

假定噪声为高斯白噪声，令

(A12)

(A13)

(A14)

(A15)

(A16)

则关于ξ的费舍尔信息矩阵(Fisher Information Matrix，FIM)可以表示为

(A17)

分析可以得知，μ关于ξT的偏导数是一个2NM×(2NM+4)的矩阵，定义为

(A18)

式中：K为一个NM×1的列向量；B为一个NM×2的矩阵，分别为

(A19)

(A20)

Bm=j2πtmA′ej2πΔftmFHDΔτm·

(A21)

(A22)

(A23)

因此，可以得到

(A24)

利用式(A24)，可以得到FIM为

(A25)

其中：

|A′|2INM

(A26)

(A27)

(A28)

利用分块矩阵求逆公式，令

(A29)

(A30)

(A31)

(A32)

(A33)

通过计算，可得

(A34)

通过对矩阵V取逆，即可以得到关于PA的CRLB。

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160715.1040.002.html

Amulti-pulsepassivelocalizationalgorithmforbistaticmovingstations

ZHOULongjian,LUOJingqing*,YUZhifu,WUShilong

ElectronicEngineeringInstituteofPLA,Hefei230037,China

Foraccuratelocalizationofwidebandsignalstationarysourcesofknownheight,anovelalgorithmisproposedusingtheinformationoftimedifferenceofarrival(TDOA)andfrequencydifferenceofarrival(FDOA)betweentwomovingstations.Thismethodusestheprincipleofsyntheticapertureradar(SAR)imagingandtheideaofdirectlocalizationforreference.Theobservingtimeisdividedintofasttimeandslowtimeinsampling.TDOAisrequiredinthefasttimedomain,andFDOAisestimatedintheslowtimedomain.Crosscorrelationoffrequencydomainisoperatedfirstbetweenthesamplingsignalsoftwostations,andrangecellmigrationofsignalsistheneliminatedbyreferencefunctionandgeneralKeystonetransform.ThejointTDOAandFDOAarefinallyestimatedbyapplying2-DFouriertransformandmappingthepositionofsources.TheresultsofsimulationshowthattheprecisionoflocationisclosetoCramer-Raolowbound(CRLB)whenSNRishigh,andtheproposedmethodcanbestillusedforlocationinlowSNR.Besides,withlowcomputationalcost,theproposedalgorithmisespeciallyapplicableforobservingunresolvedmultipletargetlocalizationwithpropertiesofhighprecisionandsuperresolution.

passivelocalization;syntheticapertureradar(SAR);directlocation;crosscorrelationoffrequencydomain;generalKeystonetransform

2016-03-23；Revised2016-05-05；Accepted2016-07-05；Publishedonline2016-07-151040

NaturalScientificFundamentalResearchProjectofShaanxiProvinceofChina(2013JQ8020)

.E-mailluojingqing@126.com

2016-03-23；退修日期2016-05-05；录用日期2016-07-05； < class="emphasis_bold">网络出版时间

时间：2016-07-151040

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160715.1040.002.html

陕西省自然科学基础研究计划 (2013JQ8020)

.E-mailluojingqing@126.com

周龙健， 罗景青， 俞志富， 等． 一种运动双站多脉冲无源定位算法J． 航空学报,2017,38(2):320251.ZHOULJ,LUOJQ,YUZF,etal.Amulti-plusepassivelocalizationalgorithmforbistaticmovingstationsJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(2):320251.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0206

V243.2； TN911.7

A

1000-6893(2017)02-320251-10