张士亮

[摘 要] 数学教材中的数学语言是一个重要的教学价值发源地，研究教材语言以发现这些“潜台词”背后的教学价值，应当成为数学教师的必修课. 苏教版高中数学教材的前言、章前知识结构、语言细节以及本章回顾中，均可以琢磨出很多有益的教学思想.

[关键词] 高中数学；数学语言；教学价值

对高中数学教学的载体进行研究，可以发现有多个研究对象可以纳入视野，课堂上教师的语言，各种方式呈现的例题、试题，具体的数学运用的情境，都是学生获得数学知识，生成数学能力，形成数学见解的重要途径. 在这些教学载体中，有一个载体被实际上忽视了，那就是教材中的教学语言.由于应试的需要，由于高节奏的课堂教学的存在，现在的教师（包括学生）在数学学习中细读课本的情形已经不多见了. 而事实上如果师生真能沉浸于课本，那其实是可以从课本上的数学语言描述中发现巨大的教学价值的. 笔者近期对苏教版高中数学教材进行了认真解读，发现其中用以描述数学的文字，其实蕴含着丰富的教学价值. 当然要注意的是，教材中的很多描述其实作为教材编制专家智慧的积淀，常常表现出高浓缩的特征，因而其教学价值常常隐藏在“潜台词”当中，这是需要去努力发现的. 现以苏教版选修教材2-1为例，谈谈笔者的观点.

读前言，理解数学价值

苏教版教材前言是以“致同学”的形式呈现的，其中的一些表述对于教师理解数学教学的价值是很有好处的，也是蕴含着教学方向的确定的. 如该内容中所说的“数学可以帮助我们认识世界，改造世界，创造新的生活”“是学习物理、化学等学科的基础”等，这些表述看似宏观甚至是空洞，可是如果仔细琢磨的话，便能够发现其中包含的信息就是：高中数学教学其实是应当面向学生的世界与生活的，从学生生活中提取教学素材为课堂教学所用，不仅可以加深学生对数学的理解，还可以让学生在体会数学与生活联系的过程中，发现数学的价值.

关心国家经济社会发展的数学教师都应当知道，本届政府在衡量国家经济发展的时候，除了参照传统的GDP指标之外，还有另一个指标，即“克强指数”，该指数是通过衡量一个地区的用电量、铁路货运量、贷款发放量三个指标，来判断一个地区的经济发展状况. 作为数学教师，笔者当时就意识到了其实无论是GDP，还是克强指数，其实都是数学知识在生活中的具体运用，这也提醒笔者，只有将数学知识与学生的生活联系起来，教学才是具有永恒生命力的，而在实际教学中，笔者坚持这么做，也确实是有所收益的.

而数学作为自然学科的基础，最早则可以延伸到距今近三千年的古希腊时代. 在数学发展史的长河中，任取一个片段，都可以是发挥数学教学价值的重要素材，譬如牛顿流数术的发明. 笔者曾在课堂上用二十分钟左右的时间向学生介绍牛顿基于研究天体之间万有引力作用而发明流数术，学生听得兴趣盎然，自觉收获颇丰，这就是教学价值的体现.

读结构，把握教学内容

教材中的结构也是容易为教师所忽视的，主要原因在于结构图表达出的是某章的知识结构，而这个知识结构图教师再熟悉不过，因而感觉不需要细看. 可笔者曾经思考过两个问题：教材呈现这种知识结构，只是为了某章内容的完整性吗？如果将其中的结构进行调整，那又会出现什么样的情形？在这两个问题的驱动之下，笔者有了新的教学发现.

以“圆锥曲线与方程”这一内容的结构图为例，简单浏览即可发现，其一级主题是圆锥曲线与方程，二级主题是圆锥曲线、椭圆、双曲线、抛物线、圆锥曲线的统一定义、曲线与方程，三级主题主要是椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质，以及曲线与方程. 除了各级主题之间的隶属关系之外，其实有几点更为重要：一是圆锥曲线这一概念统领具体的曲线，且三种具体曲线都是从标准方程与几何性质两个角度来加以阐述的，这就意味着本章的新知构建思路是确定的；二是对于曲线与方程的关系，实际上是从数形结合的角度来阐述的，因此数形结合应当成为本章教学的一个重要线索；三是最后一节“曲线与方程”中有重要的意味，“求曲线的方程”实际上是一种能力描述与要求，意味着本章的知识运用的重要方向就是给出某些条件去确定曲线的方程，那么教师在对本章相关的无数试题进行分析的时候，就需要把握这一主线，来建立一个解题思路相对稳定的题库，这对于初学者来说是极为重要的教学策略.

再思考另一个问题：本章的内容有没有可能重新建构？理论上并不是不可能，但从学生认知发展的角度来看，目前这种“总—分—总”的结构其实是有利于学生在新知学习中迅速地形成较为完整的认知结构的.

读细节，寻找教学联系

教材中所体现的教学价值，更多的时候是隐藏在所用的数学语言细节当中，解读这些细节可以彰显出更多的教学价值.

在椭圆中有这样的表述：“汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆，把一个圆压扁了，也像椭圆. 它们究竟是不是椭圆呢？”从教材编写的角度来看，这段语言极其精炼，以至于让人感觉到这只是教材举了一个例子而已. 但如果在教学中真的只是将这两个例子直接呈现给学生，那教学的效果是要打折扣的. 事实上，笔者经常听此课时，看到不少教师用多媒体呈现汽车油罐图，用几何画板演示一个圆被压扁的动画. 这些情境看起来形象，实际上没有读出教材这段表述的“潜台词”.

在笔者看来，教材这段表述背后隐藏着一个重要的思想，那就是从学生的生活经验中寻找椭圆教学的起点. 因为无论是汽车的油罐，还是那个被压扁的圆，其实都是学生头脑中固有的情形，即使教师不呈现这样的素材，而是让学生去说“你觉得椭圆是什么样的图形？你觉得生活中的哪些地方可以见到椭圆？”如果不出意外，那学生十有八九都会提到这两个例子. 这说明什么？这说明那种现代教学手段呈现素材实际上是没有必要的，因为学生凭着生活经验就能构建出清晰的表象出来，而且教育心理学告诉我们，在学生有清晰表象的情况下，直接对表象进行加工，其效果要比现代教学手段呈现相关的素材更好，因为学生的表象越清晰，而教师的素材越形象，那实际上是容易分散学生的注意力的，是不利于学生对学习对象加工的.

又比如说教材中还有这样的表述：“在建立了椭圆的标准方程之后，就可以通过方程来研究椭圆的几何性质.” 根据笔者的教学经验，这样的语言在教学中是不适宜直接表达的，因为这其中的因果关系学生是无法理解的——为什么学习了标准方程，就可以用标准方程來描述椭圆的几何性质呢？既然是几何性质，那就应当是与图形相关的，而方程只是一个代数方面的知识，其与图形会有什么关系？

可以肯定地讲，笔者做出了这样的思考，实际上就是对学生学习情况的客观描述，也算是对教学价值的一种发现. 所以到了教学实际中，笔者常常采用的策略是让学生去回顾曾经的数形结合事例，从中发现数形结合的作用，然后思考在椭圆知识的学习中，要发现椭圆的几何性质，可以采用哪些方法与手段. 事实证明，这个问题可以驱动学生进行有效的思考，也可以为后面的数形结合探究椭圆的几何性质打下基础.

读小结，建构知识全景

教材中每一章都有一个小结，即“本章回顾”，这也是教师与学生容易忽视的地方，毕竟其中没有什么明显的知识点. 但实际上，这些内容的表述是对一章的高度概括，其对学生的教学价值在于可以让学生对本章所学的知识建构一个完整的图景.

如“圆锥曲线与方程”这一章中，“通过方程研究了圆锥曲线的基本性质”“运用圆锥曲线的方程和性质解决了一些实际问题”“在直线、圆、圆锥曲线的基础上，引入了曲线方程的概念”“介绍了求曲线方程及用方程研究曲线间基本关系的方法”，这些表述都是在阐述本章的知识之间的联系，真正咀嚼这些表述，学生就可以认识到圆锥曲线的性质是可以用方程来描述的，哪些实际问题是可以用圆锥曲线方程和性质来解决问题的，而不同曲线之间的联系点其实也是曲线方程. 经过这样的语言价值的发掘，学生完全可以再结合教材上的知识框图对本章的知识形成一种整体性非常强的理解，这种理解对于高中学生的数学学习来说其实是非常珍贵的，因为有好多学生直至毕业，也没有对数学知识形成一种整体性认识，那种零乱的认知结构无论是对解题能力的培养，还是对核心素养的培养，都是没有太大效果的.

综上所述，高中数学教学中精研教材，并从教材的语言中，从字里行间发现教学价值，可以让教师更好地把握教学方向，从而推动数学有效教学的进一步实现.endprint