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(山东省实验中学,山东 济南 250001)

2017年全国卷Ⅰ理科第13题的解法探究及应用*

●冯瑞瑶

(山东省实验中学,山东 济南 250001)

文章以2017 年全国卷Ⅰ理科第13 题为例，利用“转化”思想，提升有关平面向量问题的计算能力，探寻考题与教材中基本概念、基本公式和运算性质的关系，并把这一思想应用到求解2017 年浙江卷第15 题和江苏卷第12 题．

平面向量; 转化思想; 一题多解

向量在物理学等应用学科中有很多重要应用，是数学解析几何中教和学的重要内容，也是高考的重要考点之一.其主要考查形式是选择题和填空题，考查内容主要有向量的模、向量的夹角和向量的数量积的计算以及向量平行和垂直的判定等，难度适中，是考生必争之分.下面以2017年全国卷Ⅰ理科第13题为例，利用“转化”思想，给出多种解法，提升有关平面向量问题的计算能力.最后，笔者把这一思想应用到求解2017年浙江卷第15题和江苏卷第12题，说明“转化”思想是学好数学的一种重要思想，应用非常广泛.

1 问题提出

例1已知向量a,b的夹角为60°，|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=______.

(2017年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第13题)

该题主要考查向量的数量积和向量模的计算.

分析1由向量的内积满足乘法公式可知

(a+2b)(a+2b)=a2+4b2+4a·b，

再利用向量的模与平方的关系a·a=a2=|a|2,即可求出.

解法1(求模平方化)由|a+2b|2=(a+2b)(a+2b)=a2+4b2+4a·b=|a|2+4|b|2+4|a|·|b|cos 60°=12,解得

评注解法1的关键是把求向量的模转化为求向量模的平方，简称求模平方化.这是一个重要思想，在历年数学高考题中多有体现.例如，文献[1]利用这一思想给出了2013年浙江省数学高考理科第17题的多种解法.

(2013年浙江省数学高考理科试题第17题)

2.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则向量a,b夹角的余弦值是______.

(2013年安徽省数学高考文科试题第13题)

(2013年江苏省数学高考试题第15题)

图1

分析2已知向量a,b的夹角为60°，从而向量a,2b的夹角也为60°.以向量a,2b为邻边作OBCA，作CD垂直于OA的延长线于点D(如图1)，则|a+2b|=OC.

解法2(求模直角化)因为|b|=1,|2b|=2,又∠CAD=60°，∠ACD=30°,所以

从而

于是

点评在解法2中，把求向量的模转化为求直角三角形的斜边的长度，进而利用熟知的勾股定理即可求解.该解法简称求模直角化，它的优点是数形结合，不易出错，但在历年数学高考向量问题的解法探析中很少有人提出.例如，文献[1-5]给出了求解向量模的多种方法，对于“把求向量的模转化为求直角三角形斜边的长度”的想法尚未提及.

相关练习1.已知向量a,b的夹角为120°，|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=_____.

3.已知向量a,b垂直，证明:|a+b|=|a-b|.

评注练习1是例1的变式，把条件“向量a,b的夹角为60°”改为“向量a,b的夹角为120°”.在一般情况下，只要告诉两个向量的长度和夹角，求有关向量的模，可优先考虑求模直角化的方法，这样做能事半功倍.由解法2知OBCA是菱形，∠COD=∠COA=30°，进而可得到解法3.

分析3易知向量a,a+2b的夹角为30°，通过计算向量a和向量a+2b的数量积即可得到a+2b的模.

解法3(求模数量化)因为

a·(a+2b)=|a|·|a+2b|cos 30°,

且

a·(a+2b)=a2+2ab=6，

得

所以

点评在解法3中，我们把求向量模的问题转化为求向量的数量积的问题，简称求模数量化.这里的关键问题是求出向量a,a+2b的夹角.

(2013年山东省数学高考理科试题第15题)

2.已知a,b是平面内的两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c)·(b-c)=0，则|c|的最大值是______.

(2008年浙江省数学高考理科试题第9题)

分析4以向量a的起点为原点、所在的直线为x轴建立直角坐标系，求出向量a,2b分别对应的坐标(如图2)，即可求出向量a+2b的模.

a=(2,0)， |2b|=2.

又∠BOC=60°，∠OBC=30°,从而

于是

故

点评在解法4中，通过建立直角坐标系，把向量问题转化为数量问题，简称求模坐标化.这里的关键问题是求出向量对应的坐标.

图2 图3

高考链接1.如图3,在ABCD中，已知||=8，||求

(2014年江苏省数学高考试题第12题)

(2013年天津市数学高考理科试题第12题)

读者可以参照参考文献[1，4，5]的方法对本题做进一步的研究.

2 方法应用

例2已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是______，最大值是______.

(2017年浙江省数学高考试题第15题)

分析部分考生以向量a,b为邻边作平行四边形，然后借助三角形的三边关系，得4<|a+b|+|a-b|<6.事实上，由此无法计算出|a+b|+|a-b|的最值.下面，利用“转化”思想求解|a+b|+|a-b|的最值.

解假设向量a,b的夹角为θ，则0≤θ≤π.因为|a|=1,|b|=2,所以

|a+b|+ |a-b|=

从而

16≤f2(θ)≤20,

即

图4

点评在求解过程中,若直接考虑f(θ),则很难精确计算出|a+b|+|a-b|的最小值和最大值，而把问题转化成f2(θ)的最值问题，可迎刃而解.

(2017年江苏省数学高考试题第12题)

分析由tanα=7，sin2α+cos2α=1可知

(1)

(2)

评注在求解过程中，用到了向量的模与平方的关系.另外，需要指出先求出sinα的原因在于:当0≤α≤π时，sinα的取值是非负，在开方运算中便于确定sinα的值.

对例3而言，还可以通过建立直角坐标系，把向量问题转化为数量问题，留给感兴趣的读者进行研究.

利用“转化”思想，给出了2017年全国数学高考卷Ⅰ理科第13题的4种解法，只当抛砖引玉，与大家分享.尽管方法不同，但是熟练运用这些方法的前提是对教材中关于向量的基本概念、基本公式和运算性质的熟练掌握.否则，再漂亮的思想和方法也将“失效”.因此，学好教材，弄清楚每一个基本概念、基本公式和运算性质并熟练运用才是关键.另外，通过上述对往届数学高考题的解析不难发现：“转化”思想是学好数学的一种重要思想.该思想在求解向量的模、向量的夹角和向量的数量积的运算中有广泛的应用，值得我们学习和借鉴.在学习过程中,自主地培养转化意识，这样才能在解题过程中灵活使用，做到又快又好地解题.

[1] 桂再安.一叶而知秋 一题一世界[J].数学教学通讯，2014(3)：59-60.

[2] 蔡明.2010年浙江省数学高考理科试题第18题解读[J].中学教研(数学)，2010(8)：12-13.

[3] 张培强.四剂良方求a·b——探解一道高考向量数量积试题[J].新高考：高三数学，2014(11)：8-9.

[4] 李学军，曲文瑞.大音希声 大象无形——基于2016年浙江省数学高考理科第15题[J].中学教研(数学)，2016(12)：43-45.

[5] 蒋海瓯.把握“长度”“方向”两要素 寻求“代数”“几何”双突破[J].中学教研(数学)，2013(8)：15-18.

2017-09-04

冯瑞瑶(2000-)，女，山东济南人，高中学生.

O123． 1

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1003 - 6407(2017)11-48-03