东红林++于莲芝

摘要：当前，数字图像处理已渗透到各行各业，图像滤波是数字图像处理的预处理，能对图像的一些特征加以有效改善。除空间域滤波外，频率域滤波也具有重要价值和意义，用傅里叶级数或变换将图像转化的频域进行低通滤波、高通滤波等处理，再通过傅里叶反变换进行重建，不仅不会丢失任何信息，还可以完成空间域无法完成的处理。

关键词：图像滤波；傅里叶变换；低通滤波；高通滤波

DOIDOI：10.11907/rjdk.171680

中图分类号：TP317.4

文献标识码：A文章编号：16727800（2017）010020504

0引言

数字图像处理已应用于社会生活的各个领域，特别是近几年火热的人工智能领域。在实际中难免会遇到一些质量较差的图像，如图像模糊不清、有噪声等，因此在应用图像前，图像预处理尤为重要。鉴于此，研究图像的频率域滤波具有重要意义。频域滤波以图像的傅里叶变换为基础，通过对傅里叶谱和相角进行分析再修改傅里叶变换以达到特殊目的，常用的有高通滤波和低通滤波。

1基本概念

1.1傅里叶级数及变换

傅里叶指出无论函数有多复杂，只要它是周期性的，并且满足一定的数学条件，就一定可以用这种正弦和或者余弦和的形式表示。甚至在有些情况下，非周期函数也可以用正弦和或者余弦和的形式表示[1]。

傅里叶级数：

f（t）=∑∞n=-∞cnejzπnTt（1）

其中，f（t）是具有周期的连续变量函数。

cn=1T∫T/2-T/2f（t）e-j2πnTtdt，

（n=0，±1，±2，…）（2）

傅里叶变换：

F（u）=∫∞-∞f（t）e-j2πutdt（3）

傅里叶反变换：

f（t）=∫∞-∞F（u）ej2πutdu（4）

卷积：

f（t）Θh（t）=∫∞-∞f（τ）h（t-τ）dτ（5）

其中，Θ表示卷积算子。

卷积定理：

f（t）Θh（t）H（u）F（u）f（t）h（t）H（u）ΘF（u）（6）

双箭头表示左右两端经过傅里叶变换的转换。

1.2二维（图像）傅里叶变换

图像可以看成是一个特殊的二维信号，每一点的灰度级就是图像信号上这一点的“幅度”。根据信号的概念，频率就是信号变化的快慢，指图像空间上灰度变换的快慢，也即图像的梯度变化，频率比较大的是图像中的“边界”或“边缘”。举例来讲，如果一幅图整体变化不大（比如一张白纸），则它在频率域下低频成分很多，而高频成分极少；而如果是一幅道路上斑马线的图，则其高频成分比白纸多得多。

连续傅里叶变换：

令f（t，z）是两个连续变量t和z的连续函数，则其二维傅里叶变换对有以下两个表达式：

F（u，v）=∫∞-∞∫∞-∞f（t，z）e-j2π（ut+vz）dtdz

f（t，z）=∫∞-∞∫∞-∞F（u，v）ej2π（ut+vz）dudv（7）

其中，u和v是频率变量。

离散傅里叶变换（DFT）及反变换（IDFT）：

F（u，v）=∑M-1x=0∑N-1y=0f（x，y）e-j2π（ux/M+vy/N）

f（x，y）=1MN∑M-1u=0∑N-1v=0F（u，v）e-j2π（ux/M+vy/N）（8）

f（x，y）是大小为M×N的数字图像，u=1，2，3…M-1，v=1，2，3…N-1，x=1，2，3…M-1，y=1，2，3…N-1。

1.3卷积定理（二维）

二维卷积表达式：

f（x，y）Θh（x，y）=∑M-1m=0∑N-1n=0f（m，n）h（x-m，y-n）

其中，x=1，2，3…M-1，y=1，2，3…N-1。

二维卷积定理[1]：

f（x，y）Θh（x，y）F（u，v）H（u，v）f（x，y）h（x，y）F（u，v）ΘH（u，v）

2圖像频域分析

一般情况下，二维DFT是复函数，可用极坐标表示：

F（u，v）=F（u，v）ejΦ（u，v）（9）

其中，幅度：

F（u，v）=[R2（u，v）+I2（u，v）]1/2

称为傅里叶谱（或频谱），而：

Φ（u，v）=arctan[I（u，v）R（u，v）]

称为相角。

由式（8）可得：

F（0，0）=MN1MN∑M-1x=0∑N-1y=0f（x，y）=MNf-（x，y）

其中，f-表示f的平均值，有F（0，0）=MNf-（x，y），也即变化最慢的频率分量（u=v=0）与图像的平均灰度成正比。

图1频域各部分信息展示

如图1所示，与空间域一样，频率域的原点也在左上角，图1（b）是图1（a）经过DFT之后的数据阵列，它由4个1/4周期组成，由二维傅里叶变换周期性性质决定[1]，图1（c）是经过平移后的图像，它包含一个完整的位于中心的周期，图1（d）是为了便于观察进行（1+logF（u，v））处理后的图像，很好地显示了高频与低频在图中的分布。由于比例常数MN通常很大，F（0，0）是谱的最大分量，F（0，0）有时称为变换的直流（dc）分量，反映图像的平均灰度级，低频反映图像灰度变化缓慢的部分（图1（a）中黑色部分），与白纸图片一样，几乎没有变化。高频反映图像灰度变化迅速的部分（图1（a）中白色边缘），如边缘、噪声等。endprint

图2频域各部分信息复原图像

如图2所示，（b）是原图（a）相角的阵列信息，人眼看不出任何有价值的信息，（c）是仅使用相位信息（谱置为1）重建的图像，隐约地可以看到图片中女子的轮廓形状，（d）是仅使用傅里叶谱信息（相位信息置为0）重建的图像，在人眼看来图像几乎没有任何有价值的信息，（c）和（d）对比可以看出，相位信息支配着图像的轮廓或形状，谱信息支配着图像的灰度信息。（e）和（f）分别是图2（a）的相角和图1（a）的谱信息重建的图像、图1（a）的相角和图2（a）的谱信息重建的图像，（e）中女人的形状支配了这幅图像，（f）中图1的矩形支配了这幅图像。这两幅图再次证明，一幅图像傅里叶变换后的频域信息中，相位支配着图像形状，傅里叶谱信息主导着图像的灰度信息。

核心代码如下：

f=fft2（img）；%傅里叶变换

r=real（f）；%图像频域实部

ii=imag（f）；%图像频域虚部

xiangjiao=atan2（ii，r）；

subplot（2，3，2），imshow（xiangjiao，[]），title（'（b）相角'）；

xiangwei=ifft2（exp（1i*xiangjiao））；

pu=ifft2（abs（f））

3图像频率域滤波基础

图像频率域滤波是通过修改图像的傅里叶变换后再计算其反变换得到处理后的图像。对于一幅大小为M×N的数字图像f（x，y），则基本的滤波公式为：

g（x，y）=-1[H（u，v）F（u，v）]

其中，-1是IDFT，F（u，v）是输入图像f（x，y）的DFT，H（u，v）是滤波函数（也称滤波器），g（x，y）是滤波后的输出图像，且F、H、和g都与输入图像大小相同。

如上述分析，可以认为让频域中高频部分衰减而将低频部分通过的滤波器近似称作低通滤波器，它会使图像灰度变化剧烈部分的灰度值降低进而使整个图像的平均灰度值减小，灰度直方图的范围减小（最大、最小灰度值之差变小），最终使图像变得模糊。同理，具有相反特性的滤波器近似称作高通滤波器，它将增强尖锐的细节，但会导致图像对比度降低，图3说明了这些效应。

图3不同滤波器及其滤波后的图像

如图3所示，上一行是滤波器，下一行对应滤波器滤波后的图像，（c）中a=0.75，滤波器自身的高度仍然是1。核心代码如下：

s=fftshift（fft2（I））；%将灰度图像的二维不连续Frourier变换的零频率成分移到频谱的中心

for i=1：M

for j=1：N

d=sqrt（（i-n1）^2+（j-n2）^2）；%点（i，j）到傅立叶变换中心的距离

h=1-1*exp（-1/2*（d^2/d0^2））；%GHPF滤波函数

s（i，j）=h*s（i，j）；%GHPF滤波后的频域表示

end

end

s=ifftshift（s）；%对s进行反FFT移动

s=uint8（real（ifft2（s）））

频率域滤波算法总结如下：①对灰度图像进行二维不连续Frourier变换；②将变换后的零频率成分移到频谱中心；③计算点（i，j）到傅里叶变换中心的距离并得到GHPF滤波后的频域表示；④进行二维Fourier逆变换；⑤取复数的实部转化为无符号8位整数，得到处理后的图像。

4图像频率域滤波应用

主要考虑理想滤波器、布特沃斯滤波器和高斯滤波器这3种低通滤波器的应用[23]。这3种滤波器贯穿非常尖锐（理想）的滤波到非常平滑（高斯）的滤波。布特沃斯滤波器内置了1个参数，它也称为滤波器的“阶数”，阶数越高越接近理想滤波器，阶数越低越接近高斯滤波器。

以下是3种滤波器的函数表达式[1，46]：

（1）理想滤波器。

H（u，v）=1，D（u，v）≤D00，D（u，v）>D0（低通ILPF）

H（u，v）=0，D（u，v）≤D01，D（u，v）>D0（高通IHPF）

（2）布特沃斯滤波器。

H（u，v）=11+[D（u，v）/D0]2n（低通BLPF）

H（u，v）=11+[D0/D（u，v）]2n（高通BHPF）

（3）高斯滤波器。

H（u，v）=e＼+＼{-D＼+2（u，v）/2D＼+20＼}（低通GLPF）

H（u，v）=1-e＼+＼{-D＼+2（u，v）/2D＼+20＼}（高通GHPF）

上述数学表达式D0为截止频率，D（u，v）为频率域中点（u，v）到频率矩形中心的距离。

4.1平滑图像

由上可知，一幅图像高频部分主要是边缘或突变的灰度转变[7]（如噪声）。为了平滑（模糊）图像，可在频率域对其高频部分进行衰减以达到目的，也即用低通滤波器实现。

图4不同滤波器去噪效果

如图4所示，可以看出（b）、（c）、（d）3幅图在截止频率d0=20时都对（a）中的噪声起到了一定的平滑作用。很明显，（b）中模糊程度和振铃现象较严重，而（c）和（d）去噪效果不是很明显，但（d）的边缘模糊程度较（c）稍大些，这是由于二階BLPF滤波器在带通和带阻之间有较大的平滑过渡带，从而高频信号有部分保留。相应地，边缘模糊程度稍微降低，可以有效减小理想低通滤波器中的“振铃”效应，而GLPF的傅里叶反变换也是高斯的，因此高斯滤波器就不具有“振铃”效应。

4.2锐化图像

与平滑图像相反的是图像锐化，由于边缘和其它突变的灰度值与高频分量有关，因此图像锐化可以由高通滤波器完成，并且不会对高频分量的信息产生破坏。

图5不同滤波器锐化效果

由图5可知，IHPF、BHPF、GHPF 3种高通滤波器对图5（a）的滤波效果依次增加，图像越来越平滑。从图5（d）中可以看出，高斯高通滤波器对小狗的胡须也能进行较为清晰的展现。

5结语

图像频域滤波主要是将时域中的图像转化到频率域中进行相应的滤波。图像频率域滤波的关键是滤波器的选择，低频代表图像灰度值变化缓慢的部分、高频代表图像灰度值变化剧烈的部分、相位支配着图像形状、傅里叶谱信息主导着图像的灰度信息，可以据此设计不同的滤波器。本文只介绍了3种滤波器，实际应用中还有很多不同种类、不同功能的滤波器，例如梯形滤波器、高频强调滤波器、同态滤波器等，可以根据实际情况选取。

参考文献参考文献：

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[5]李茂清.基于MATLAB程序的FIR滤波器设计实现[J].电力学报.2008，32（2）：8789.

[6]邓伟，田正文.利用MATLAB辅助设计FIR数字带通滤波器[J].计算机与数字工程，2009，37（6）：14.

[7]关雪梅.基于频域的图像增强技术研究[J].廊坊师范学院学报：自然科学版，2012，12（2）：2732.

责任编辑（责任编辑：孙娟）endprint