■徐 伟 廖子谦

(同济大学土木工程学院，上海 200092)

海绵边界的有效性验证

■徐 伟 廖子谦

(同济大学土木工程学院，上海 200092)

动力时程分析能够综合考虑土体和结构几何和非线性特性，是地下结构抗震研究中一种重要方法，人工边界是动力时程分析需要重点考虑的问题之一。利用有限元对海绵边界的有效性进行了验证性分析，结果表明地震波在模型与海绵边界的界面会发生反射，影响海绵边界的有效性。对人工边界的合理使用给出了建议。

海绵边界 动力时程

1 引言

2014年，我国颁布了《城市轨道交通结构抗震设计规范》[1]，体现了国家对地下结构抗震设防的日益重视。地下结构抗震研究方法主要包括理论解析、数值模拟和振动台试验等，其中数值模拟能够综合考虑土体和结构几何和非线性特性，是当前研究的主要方法之一。动力模拟与静力分析最大的区别在于需要设置人工边界，以避免地震波在边界的反射对分析区域产生干扰。

Varun[2]在沉井动力计算时发现将土体计算范围取10D(D为沉井平面最大尺寸)时，才能将边界截断误差降到5%以下，为减小数值分析计算规模，提出了海绵边界(Sponge Boundary)的人工边界处理方法。海绵边界的主要思想是通过提高截断模型边界一定范围内土体的阻尼，来避免截断边界反射波对分析主体产生影响，文献[2]采用了这一方法。有类似思想的模拟可见[3-5]。本文通过在截断模型边界取部分模型不同程度提高阻尼比，与标准模型结果对比，验证海绵边界的有效性，讨论人工边界的合理使用问题。

2 有限元分析模型

为简化模型，取单层土模型计算，深度取70m。隧道截面尺寸内径5.5m，外径6.2m，埋深20m，计算参数见表1。土体阻尼比取0.05，采用Rayleigh阻尼，取土体前两阶频率计算阻尼参数，土体计算参数见表2。

表1 衬砌计算参数

表2 土层计算参数

土体采用四节点平面应变单元，衬砌采用梁单元。采用海绵边界的模型侧面土体宽度取5D，即30m，模型尺寸为60m×70m，见图1。三种计算工况分别为：不改变阻尼比，即仍采用5%的阻尼比；将边界1D范围内的阻尼比设为10%和15%，即Rayleigh阻尼系数为α=0.461086，β=0.021683 和 α=0.922172，β=0.043367。 标准模型侧面土体宽度取约15D，即100m，模型尺寸为200m×70m，见图2。

图1 海绵边界计算模型

图2 标准计算模型

地震动记录选用EI Centro波，时程及频谱如图3所示，截取前10s。加速度时程在70m深处输入，只考虑水平向。

图3 输入地震动记录

模拟荷载步包括地应力平衡和动力分析两步，动力分析步约束模型侧边和底部竖向位移，水平向地震动记录加速度时程由模型底部输入。最大单元尺寸取1m，满足最大单元尺寸=3m要求，计算时步取0.01s，满足最大时步=0.01s要求。

3 有限元分析结果

3.1 内力结果

选取标准计算模型，输出隧道衬砌的轴力、剪力和弯矩包络图如图4～6所示，可以明显看出与其他分析结果形状相似[6]，验证了本文标准模型的正确性。

图4 衬砌轴力包络图

图5 衬砌剪力包络图

图6 衬砌弯矩包络图

3.2 加速度时程对比

对比隧道左侧和底部土体节点加速度时程结果如图7～8所示。由图可以看出，当不增加边界阻尼，即边界1D范围内土体阻尼比仍取5%(与标准模型相同)时，参考点处加速度时程与标准解相同。当增大边界1D范围内土体阻尼比时，误差反而随着阻尼比增大而增大，与设置海绵边界的初衷背道而驰。

4 分析与讨论

本文分析结果与文献[1]结果相反，并不是海绵边界的方法有错，而是合理的边界阻尼比才能起到海绵边界的效果。本文侧边界阻尼比设置过大，与中间土体性质相差太大，使得地震波在土体与边界的界面发生反射，相比于不设置海绵边界，反而增大了模型截断误差。

图7 隧道左侧土体不同边界模型结果对比

图8 隧道底部土体不同边界模型结果对比

侧边土体截断宽度取15D和5D结果相同，说明计算模型中土体设置一定阻尼后，能够有效降低对截断边界范围的要求。合理推测，土体阻尼比越大，侧边土体截断宽度要求更小。实际土体阻尼比选取应结合Shake91或参照采用土体精细本构模型的模拟结果确定。

通常而言，侧边土体截断宽度取10D以上才能有效降低边界截断误差，带来的计算量庞大，人工边界是有效降低计算规模的方法。海绵边界是一种有效的人工边界形式，相比于常用的粘弹性边界和无限元边界，既避免了粘弹性边界逐个节点设置阻尼和弹簧的繁琐，又避免了无限元边界不能耗散平行边界入射地震波的不足。结合本文分析结果，海绵边界的使用应注意两点：①应该以一定侧边土体宽度为前提，避免海绵边界与土体界面的反射波对分析主体产生影响；②海绵边界应该渐次梯度设置，避免界面两侧土体性质差别太大，产生明显反射波，影响分析主要区域。合理的设置方案应针对具体的分析模型进行对比优化确定。

[1]中华人民民共和国住房和城乡建设部.城市轨道交通结构抗震设计规范[M].中国计划出版社，2014.

[2]Varun，AssimakiD，Gazetas G.A simplified modelfor lateral response of large diameter caisson foundations—Linearelastic formulation[J].Soil Dynamics&Earthquake Engineering.2009，29(2)：268-291.

[3]Zhuang H，Hu Z，Wang X，et al.Seismic responses of a large underground structure in liquefied soils by FEM numerical modelling[J].Bulletin of Earthquake Engineering.2015，13(12)：3645-3668.

[4]谷音，刘晶波，杜义欣.三维一致粘弹性人工边界及等效粘弹性边界单元[J].工程力学，2007(12)：31-37.

[5]刘晶波，谷音，杜义欣.一致粘弹性人工边界及粘弹性边界单元[J].岩土工程学报，2006(09)：1070-1075.

[6]Sedarat H，Kozak A，Hashash Y M A，et al.Contact interface in seismic analysis of circular tunnels[J].Tunnelling and Underground Space Technology.2009，24(4)：482-490.