江苏省常州市新北区实验中学 潘丽琴

苏教版初中数学二次函数最值问题解法

江苏省常州市新北区实验中学 潘丽琴

二次函数是初中数学的重要内容，特别是它的最值问题，更是教师“教”与学生“学”的重难点。笔者通过调查法、归纳总结等方法，对苏教版初中数学二次函数最值问题的解法进行了归纳，以期学生能够从容不迫地面对、解决二次函数的最值问题。

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二次函数的最值问题是初中数学教学的重难点，而大部分学生在面对“二次函数最值问题”的时候，往往找不到“着手点”，导致思维不畅，进而影响学生学习的质量，长此以往，同样不利于学生树立学好数学的自信心。为了拓展学生的思维，锻炼和提升学生的分析能力和解题能力，实现“柳暗花明又一村”，笔者举例说明了常用的解法，具体如下：

一、换元法

二次函数最值问题已经成为当前中考的热点之一，它出现在试卷中的样式呈现多样性，因此，作为一线的教育工作者，要充分发挥自身的引导和指导作用，让学生掌握解决最值问题的方法，从而抓住着手点，轻松解决问题。这样不仅能够提高学生学习数学的自信心，还能够拓展学生的思维。通过研读中考试卷发现，其中有一类题目考查的知识点确实是“二次函数”，但是从表面来看，其涉及很多未知量，导致学生迷茫，找不到解决途径。

【评注】从表面来看，题目中含有3个未知数，求含3个未知数的代数式的最小值。巧妙运用“换元法”，将其转化成为有关未知数的二次代数式，之后构建二次函数，利用函数的相关性质求取最小值。这里需要特别注意的就是t的取值范围。

二、图形法

图形法又被称之为“数形结合法”，它往往是根据问题的已知条件和结论之间的内在联系，从而将数量关系与空间形式巧妙地结合起来，进一步根据这种“结合”，抓住题目解决的“切入点”，形成解题思路，从而准确、快速地解决问题。但是由于受到各种因素的影响，学生一般会忽视“图形法”，甚至认为作图是一件非常费力的事情，导致“图形法”未能物尽其用。新课改背景下，教育工作者要抓住机遇，引导学生认识到“图形法”的价值和意义，帮助学生摆脱不正确的思想观念，且能够在实践中合理运用该方法，提高自身的解题效率，同时提高自身的正确率。

图1

【评注】要想顺利解决该类题目，首先要将问题转化成为求取“b”的最大值与最小值；其次就是根据题意化简，得到然后结合二次函数的相关知识点，画出简图，求得“b”的最大值与最小值。乍看之下，这类题目并不是二次函数的最值问题，但实质仍旧是二次函数的最值问题，同时还考查了学生对于“图形法”的掌握情况。

三、配方法

配方法又被称之为“公式法”。结合二次函数的相关性质可以归纳出：对于二次函数皆为常数，且y有最大值，且考试中，往往会将其置放于实际问题中，让学生利用二次函数的相关性质解决实际问题，从而锻炼和提高学生利用知识解决实际问题的能力。

例3 某一个玩具厂计划生产一种玩具兔子，每天最高的生产量为40只，且每日生产的兔子能够全部售出。已知生产x只兔子的成本为R（元），每只玩具兔子的售价为P（元），并且R与x的关系式为R=500+30x，P与x的关系式为P=170-2x。求：

（1）当日产量为多少时，日获取利润可以得到1750元？

（2）当日产量为多少时，可以获取最大利润？最大利润是多少元？

【分析】面对该类型题目，首先应该构建一个以“x”为自变量的函数，结合题意可以得出：结合二次函数的相关形式，函数具有最大值，通过配方法可以得到：可以得到日产量为35只时，可以获得最大利润，且最大利润为1950元。

【评注】遇到实际问题时，要结合题意构建二次函数，根据“配方法”可以求得最值。

二次函数最值问题是初中数学的重难点，但是通过归纳总结可知二次函数最值问题的解决方法还是有规律性的，解决问题中，往往会运用到换元法、图形法以及配方法，为高中阶段的进一步学习奠定良好的基础。作为一线的教育工作者，要认识到初中生的生理和心理特征，充分发挥自身的引导和指导作用，及时做好解法的归纳工作。

[1]梅宁宁．初中数学最值问题的解法探究[J]．宁波教育学院学报，2016（06）．

[2]赵秀琴． 初中数学最值问题的解法[J]．考试周刊，2012（44）．

[3]廖青馨．初中二次函数典型题的解题技巧[J]．经营管理者，2016（30）．