桂金星

【摘要】由简谐振动的动力学方程，利用数学知识导出它的运动学方程，从理论上导出其运动学方程是正弦函数形式，补充了教材的无理论推导的不足，和必修二教材对平抛运动的处理达到了异曲同工之效，使教材编写得更加完美，利用导出的弹簧振子周期公式可直接导出单摆的周期公式。

【关键词】简谐振动 ； 线性回复力 ； 正弦函数运动方程 ； 单摆周期

【中圖分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）08-0213-01

人教版物理3-4第一章第一节是简谐振动，教材的处理思路是：先给出简谐振动的定义，然后通过实验探究简谐振动的图像，就是从实验中得出振动图像，在第二节，教材直接给出了它的振动方程x=cos（wt+φ），教材这样设计的原因，可能是因为高中学生的微分数学基础有限（不会解微分方程），所以采用了从实验实践中探究运动方程这样的编排方式。

人教版物理必修二教材在处理平抛运动的时候，则采用了相反的模式，由理论到实验探究验证，即：学生已学过了牛顿第二定律后，知道了物体的运动过程和性质是由合外力决定的，于是对平抛运动物体受力分析后，得出物体水平方向做匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。我想，其实在简谐运动这里也可以尝试一下，从理论推导到实验验证，但是对数学的要求，技巧性处理稍强一些。

3—4物理课程开设时间一般在高二下学期或是高三后期，此时学生的选修数学2—2已学过，其中的微积分初步知识已了解，已会求导，已经知道：位移对时间求一阶导数得到的是速度，v=■；速度再对时间求一阶导数得到的是加速度，a=■；也即位移对时间求二阶导数得到的是加速度，a=■，这为我们建立简谐振动的动力学微分方程打下了数学基础。

教材首先给出的是简谐振动模型：弹簧振子。学生已经学完必修一物理，最大的收获就是解决了运动和力的关系，应该有了这样的物理意识：物体的运动不需要力来维持，但是，物体究竟做何种性质的运动，是由合外力来决定的。要研究物体的运动过程和性质，就要对物体进行受力分析，列出动力学方程这个“通项公式”，运动的性质和过程就蕴含在这个高度概括的简洁力学方程中。

给出简谐运动的定义：F=-kx，提出线性回复力，通过变形：F=ma=m■=m■■=m■，也即是：m■=-kx，再变形：m■+kx=0，■+■x=0，令：w2=■，则有：■+w2x=0；剩下的问题就是如何求解这个微分方程。（高中学生是不会求的）

我们可以铺垫设问：微分求导，大家在数学中已有所了解，比如cosx， sinx， ex， xn等的导数；请观察：■+■x=0，什么样的函数，在求过二次导数以后，加上自身，可以等于0？

学生开始在自己脑海里学过的函数中寻找，并在默默求导。

这时教师可以提示：要满足■+■x=0，说明这个函数求两次导数以后，和自身具有相同的形式。进一步追问：你们学过的函数中有满足的吗？这时学生马上想起了正弦函数和余弦函数。

老师指出：正弦函数和余弦函数，是同一类函数，他们的图像可以经过平移而得，没有本质的区别。（注：ex指数式可以通过欧拉公式化成正弦函数形式）

通过探寻，我们得到了■+■x=0这个微分方程的解，通解形式是正弦函数形式，那么这个方程的解是多少呢？可以鼓励学生把正弦函数带入验证。特解取决于起始条件。

这样，我们就把求微分方程的解进而转化为验证正弦函数是它的解。（求导验证，高中学生是会的）

我们就这样找到了简谐振动的振动运动学方程。从理论上，我们先推导出来了，这样为后面的实验探究和对结论的理解很有好处，和教材对平抛运动的处理，达到相同的效果，同时也显得教材内容更加完整和完美！

通过以上这个简短的案例，我们也得到启示：在提高高中物理课堂提问的有效性时，就必须：提问要有目的性，针对性，启发性，层次梯度有序性，使问题之间要有联系，要有铺垫，这样问题能更好的推进课堂教学，学生在这些问题的思考中更好的理解课堂内容。

我们还可以从简谐振动的动力学微分方程中推导出它的周期：T=■=2π■（因为w2=■），公式表明简谐振动的周期由振子自身结构（振子的质量和弹簧劲度系数）决定的。还可以设计实验，通过测量周期时间来间接测量质量和弹簧的劲度系数。

在这一章，还研究了单摆，单摆是一种典型的简谐振动，我们同样可以建立起单摆的动力学微分方程，通过求解微分方程，得到它的振动运动学方程，不过在推导的过程中，我们也很容易导出单摆的振动周期：T=2π■，这条思路，读者不妨一试。

这里提供另一条思路：直接利用弹簧振子的周期公式推导单摆的周期公式。

在单摆中，设摆角为θ，单摆的线性回复力是：F=-mgsinθ=

-mg■=-mg■x=“k”x，即单摆的劲度系数相当于：“k”=-mg■，直接带入弹簧振子的周期公式，就可以得出单摆的周期公式T=2π■。教材在这里设计了实验，通过测量单摆的周期来间接测量单摆所在地的重力加速度，这样以来，就会使教材知识前后联系紧密，互相照应，也会使同学们对知识的来龙去脉掌握得更加清楚。

简谐振动是运动的形式之一，通过以上讨论，使学生进一步深刻理解运动和力的关系，简谐振动之所以会有正弦函数形式，是因为本质上由它的线性回复力决定的。再一次明确：运动不需要力来维持，但运动过程和性质由合外力决定。

以上案例呈现了另一种处理方式，旨在引导学生：运用已有的知识结构和方法去探究新的知识领域，方法上实现类比和迁移；同时将新学的知识内容归类在原有的知识结构中，实现了知识的建构迁移，加深对某一物理概念，观念，意识的深刻理解，一举多得，何乐而不为呢！endprint