张银龙

摘 要 對任意给定的随机变量，，具有一阶矩，二阶矩及，运用对偶的思想，通过确定控制二次函数，得到截尾变量方差的上界估计。这里假定。对这个问题研究源自于欧式期权中的购买选择权。这种方法是建立在控制二次函数，以及针对具有单峰分布情形进行测度变换的基础上的。

关键词 对偶 欧式期权 方差

中图分类号：O211.5 文献标识码：A

0引言

随机变量的矩界问题自然地出现在概率论、统计学、经济学和运筹学等学科领域。对于它的学习研究已经有很久的历史，可追溯到切比雪夫不等式的出现，对这一问题的研究才出现了质的飞跃。二十世纪中叶，通过对偶理论使得随机变量的矩界问题得到充分发展，获得了很多非常好的结果。本文针对有界变量情形，我们将运用对偶的方法，通过建立控制二次函数，得到了变量方差的上界估计。

1主要结果与证明

定理 设随机变量，，，，，则

且当，时，

结果的证明将用到如下两个引理：

引理1设随机变量X、Y是独立且同分布的，则。

引理2 已知X为随机变量，K为常数，则。

证明：根据引理1，有

（与独立同分布）

其中，，，且，。

记

本证明的关键是找到一个二次函数，

使其满足

（2.1）

这里、、均为的二次函数。

因此， （2.2）

取 （2.3）

为验证二次函数满足（2.1），把区域划分成四个部分：⑴，；⑵，；⑶， ；⑷，。前两种划分显然是满足的，只须对后两种划分进行验证。

设，

对（3），当，时，对任意固定的函数中的变量y，则是一个关于x的二次函数，整理后为

这里，是关于x的开口向上的抛物线，经过简单的计算可以判定的对称轴小于，即有。

对（4），当，时，对任意固定的函数中的变量，则是一个关于y的二次函数，整理有，这里，由此可知G（x，y）是一个关于y的凹函数。因此，对于，有

综合以上，即有

将m2、m1、K0代入上式，整理后得

当时，其结果显然小于平凡界。

2结语

本文利用对偶的思想，对具有二阶矩的二维截尾随机变量max（0，X1X2K）的方差上界给出了估计。应用本文的结果可以评估股票和期权交易中的收益及风险，尤其是对具有相关性的两种投资组合的收益及风险进行评估。

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