高等数学中多元函数最值的几种求法
2017-10-30梁娟
梁娟
摘 要 多元函数的最值问题是高等数学的一个重要组成部分,但是很多教材对其求解并没有给出系统的全面介绍,导致学生了解的很片面。针对这个问题,也为了帮助同学们有一个系统的认识,本文从多元连续函数在有界闭区域上的最值问题和求最值的应用题两类进行讨论,并对应用题中两种常考的题型做了进一步的介绍。每个题型都给出解题思路,并通过具体的例题进行说明。
关键词 多元函数 最值问题 最值定理 拉格朗日乘数法
中图分类号:O172 文献标识码:A
1前言
众所周知,高等数学是一门工具性学科,也是各大高校的重要学科,同时也是学生认为最难学、挂科率相对较高的学科之一。函数的最值问题在高中数学里已有相关介绍,也是高考的一个考点。高等数学里介绍的函数最值问题包括两类:一类是一元函数的最值,比较简单,对学生来说没有难度;另一类是多元函数的最值,虽然增加了新的解法,比一元函数的最值难度有所增加,但是同学们应付期末考试是没有问题的。
对于多元函数的最值,几乎所有教材都只是简单的介绍了其中的一种或零散的介绍几种求解方法,并没有给出一个系统的全面介绍。很多课本在介绍多元函数最值的求法时,通常都说与一元函数相类似。这种模糊的说法,对于那些需要继续深造的学生(比如:考研和参加数学竞赛的学生),是远远不够的。针对这个问题,也为了帮助同学们有一个系统的认识,我对求解多元函数最值的几种方法做了总结。
我们知道,求一元连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值:先求f(x)出在开区间(a,b)内的驻点和导数不存在的点,并计算它们的函数值;再计算端点a和b处的函数值,比较函数值的大小,其中最大者为f(x)在[a,b]上的最大值,最小者为在上的最小值。对于多元函数,根据最值定理:若f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数,则必有最大值和最小值。这样就保证了多元函数最值的存在性。而求解多元函数的最值分两步:(1)计算出函数在所有驻点和不可导点的函数值;(2)求出区域D在边界上的最大值和最小值,将这些函数值进行比较,找出最大和最小者,它们即为函数在区域D上的最大值和最小值。多元函数求最值,说起来简单,实施起来要复杂的多。比如:函数求出的驻点和不可导点可能不止一个;区域D的边界点有无穷多了,因此要求出其在边界上的最值通常比较复杂和困难。下面对求解多元函数最值的方法给出总结。
2求多元连续函在有界闭区域上的最值
由于使函数f取得最值的点可能是:①f在D内部的驻点②在D的边界上拉格朗日函数的驻点③D的边界上的端点。因此先求出函数在上述所有点处的函数值,再比较它们的大小,其中最大者为函数在闭区域上的最大值,其中最小者为函数在闭区域上的最小值(对上述这些点的函数值,无须逐一讨论取极大值还是取极小值或者不是极值)。
例1 求函数z=x2+y2xy在区域D:|x|+|y|≤2上的最大值与最小值
解 D在的内部:|x|+|y|<2,由
解得驻点P1(0,0)
在边界上,构造拉格朗日函数
令解得拉格朗日函数的驻点。
同上,在边界上,可求得相应的拉格朗日函数的驻点;在边界上,可求得相应的拉格朗日函数的驻点;在边界上,可求得相应的拉格朗日函数的驻点。
又记四个边界线段的交点分别为,,,。
函数的最大值与最小值只能在上述9个点中取得,于是有
3求最值的应用题
此类问题利用转化的思想,首先建立目标函数,将该问题转化为第一类问题。而对于应用问题,根据实际问题的性质知道,函数f(x,y)的最大(小)值一定在区域D的内部取得,如果f(x,y)在D内只有一个驻点,即可断定f(x,y)在D上的最大(小)值在该驻点处取得。常见的实际问题有以下两种情形。
求函数z=f(x,y)满足约束方程 (x,y)=0的最值
这种题有两种解法:一是由 (x,y)=0解出y=y(x)(或x=xy)代入函数f(x,y)得到一元函数z(x)=f(x,y(x)),利用一元函数求最值的方法解决;二是利用拉格朗日乘数法。
例2 已知原料A的单价是10元,原料B的单价是20元,打算用1500元购买原料。假设A,B的数量x,y与由它们生产出的产品的数量P有如下关系式
P(x,y)=0.5x2y
问购进两种原料各多少,可使生产的数量最多?最多数量是多少?
解法一 由题意知,10x+20y=1500,即y=
代入P(x,y)=0.5x2y,得到一元函数P(x)=37.5x20.25x3
问题转化为求P(x)=37.5x20.25x3,(x>0)的最大值。
令P'x=75x0.75x2=0,解得x=100或x=0(舍去)
P(0)=0,P(100)=125000并且x>100时,P(x)是减函数。
所以,当x=100,y=25时,可使生产数量最多,最多数量为P=125000。
解法二 约束条件为10x+20y=1500,即10x+20y1500=0
构造拉格朗日函数F(x,y, )=0.5x2y+ (10x+20y1500),
解得x=100,y=25。因驻点唯一,且实际问题中一定存在最大值,所以(100,25)为最大值点,即当x=100,y=25时,可使生产数量最多,最多数量为P(100,25)=0.5100225=125000
注意:1. 约束条件的形式,等号右端必须为0,不是0的要先化为0;
4求驻点时,关键是想办法消去
求函数u=f(x,y,z)满足约束方程 (x,y,z)=0的最值
这种题最好直接用拉格朗日乘数法。当然也可以由 (x,y,z)=0解出z=z(x,y)代入函数f(x,y,z)得到二元函数数u=f(x,y,z(x,y)),然后利用求二元函数无条件最值的方法解决。
例3 某工厂用木板制定一个容积为V的无盖长方体盒子,问长、宽、高如何选取才能使木板最省?
解法一 设长方体盒子的长、宽、高分别为x,y,z,则表面积为S=xy+2xz+2yz
约束条件为,即V=xyz,即Vxyz=0
构造拉格朗日函数
解得。因驻点唯一,且实际问题中一定存在最小值,所以为最小值点,即当时,盒子用料最省,此时用料。
解法二 设长方体盒子的长、宽、高分别为x,y,z,则表面积为S=xy+2xz+2yz
且V=xyz
由于z=,代入S,得S=xy++
由题意知x>0,y>0,对x,y求偏导数,得
解得唯一驻点。该驻点也是最小值点,即当长、宽、高分别为时,盒子用料最省,此时用料。
5结束语
求解多元函数的最值问题,首先要弄清楚题目的类型,然后按照相应的解题思路和解题步驟求解。特别地,在用拉格朗日乘数法求解最值时,一定要注意约束条件的形式,这是很多学生容易出错的地方;此外,在求拉格朗日函数驻点时,要先消去 ,再求出驻点。在教学实践中,我发现很多学生在求驻点时,思路不明确,不知如何下手。以上是对多元函数最值的几点介绍,希望学生在学习该部分知识时,可以有个系统的全面认识。
参考文献
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