李小山

摘 要 矩阵是代数学的理论基础和重要工具，涉及代数学的各个重要内容。矩阵乘法与数的乘法最本质的区别是矩阵乘法不满足交换律。本文通过几个非常具有几何直观的例子来形象说明矩阵乘法不可交换这一数学现象，加深我们对矩阵乘法不可交换的认识。

关键词 矩阵 矩阵乘法 交换律

中图分类号：G423.3 文献标识码：A

0引言

线性代数是一门十分重要的数学数学课程，它的基本概念，理论和方法都具有高度的概括性，抽象性和广泛实用性。线性代数无论是在数学，物理，还是工程力学都有着非常重要的应用。因此，在大学阶段真正掌握和理解线性代数中的基本概念和方法就显得非常有必要。线性代数的核心内容就是解线性方程组，而充分了解线性方程组解的基本理论是矩阵的理论。可以这样说，解线性方程组是核心，而基本工具则是矩阵。矩阵是线性代数中最为基本的概念。其中矩阵运算包括矩阵的加法，数乘以及矩阵的乘法。矩阵的加法和数乘对于线性代数的初学者都很好理解，唯有矩阵的乘法运算对于线性代数初学者来说是一道很难迈过的门槛。在本文中，笔者将重点探讨如何来理解矩阵的乘法以及探讨为何矩阵不再满足交换律这一重要的数学事实。我们将通过几个非常具有几何直观的例子来形象说明矩阵乘法不可交换这一数学现象，加深了我们对矩阵乘法不可交换的认识。

1矩阵乘法的定义的引入

设A=（aij）是一个m€譻矩阵，B=（bij）是一个s€譶矩阵。规定矩阵A与E的乘积是一个m€譶矩阵，其中

（1）

公式（1）是矩阵乘法的标准定义。这个定义对于初学者来说显得极不自然，无法理解矩阵乘法为何要以这种方式定义。按照笔者授课的经验，如果仅要求学生死记硬背矩阵乘法的定义，会很大程度上降低学生学习线性代数的兴趣与积极性。又由于矩阵乘法是线性代数中最为基础的内容，如果这部分基础理解不透彻，对于后续内容的学习将会是一个很大的障碍。

对于矩阵乘法的教学，一个恰当的方法是通过线性变换的复合运算来理解矩阵的乘法。以这种方式来理解矩阵乘法有很多好处，尤其是对理解矩阵乘法不可交换，以及矩阵乘法没有消去律等结果上提供很大的便利。设分别为的坐标。假设是两个线性变换，即我们如下对应关系：

（2）

和

（3）

将（2）代入（3）得到

（4）

这里，

（5）

.

规定矩阵C=（cij），A=（aij），B=（bij），并定义矩阵C为A与E的乘积，写作C=AB。若记，，，那么利用矩阵乘法的定义我们知道。分别称为线性变换所对应的矩阵。因此，由我们发现（5）中矩阵乘法的定义事实上是来源于求复合线性变换所对应的矩阵，所以从这个角度来看矩阵乘法的定义有着深刻的含义。

2矩阵乘法不可交换的具体例子

矩阵的乘法与我们中学时代所学过数的乘法的有着本质的区别。若a，b是两个数，我们知道一定有ab=ba，即数的乘法可以交换。然而对于矩阵乘法而言，它与数的乘法最大的区别是矩阵乘法不再可交换。例如我们有如下矩阵

（6）

经过直接计算，我们发现

（7）

从上面的计算结果，马上发现

AB≠BA， AC≠CA， BC≠CB （8）

所以，从计算的结果可以看出矩阵的乘法不再满足交换律。

3矩陣乘法不可交换的几何解释

矩阵乘法是大学数学与初等数学不同的一个显著例子，所以为了让学生能顺利从中学数学过渡到高中数学，非常有必要将这些不同之处讲解透彻。在强调矩阵乘法不满足交换律时，如果仅从计算几个具体的例子然后告诉学生矩阵乘法确实不满足交换律会让学生觉得数学就只是一些具体的计算，这样会降低学生继续学习线性代数的兴趣。所以在讲矩阵乘法不可交换时，我通过一些具体的例子，以及通过形象的几何直观来说明矩阵乘法不满足交换律，加深我们对矩阵乘法不可交换的理解。例如（8）中的AB≠BA，AC≠CA，BC=CB后面有着非常有意思的几何含义。我们知道在平面几何中存在三种常见的线性变换，如旋转，投影，以及镜像对称。分别用，C表示将平面向量逆时针旋转角度 ，向x轴投影，以及关于y轴做对称（如图1、图2）。

（图1） （图2） （图3）

设向量p的终点坐标为x，y，则将向量p记为。设向量P1的终点坐标为为，向量P1记为。图1中的旋转变换所对应的矩阵是，即。图2中的投影变换所对应的矩阵是（2）中的矩阵，图3中关于y轴的镜像对称变换C所对应的矩阵是（2）中的矩阵。当图1中的 =，即是将向量逆时针旋转90€暗男浠唬杂Φ木卣笄『檬？2）中的矩阵。那么将向量p先向x轴投影，再逆时针选择90€暗母春舷咝员浠凰杂Φ木卣笄『檬茿B。 将向量p先逆时针旋转90€埃傧騲轴投影的复合线性变换所对应的矩阵恰好是BA。现设向量p=。那么就是将p先旋转90€叭缓笤傧騲轴投影最终得到向量。而就是将向量p=先向x轴投影再向y轴做镜像对称所得到的向量为。显然，，即我们有ABp≠BAp，从而一定有AB≠BA。所以，虽然从表面的计算可以看出AB≠BA，但是其背后的几何意义则是投影与旋转这两个线性变换的先后顺序是不能交换的。同样，AC≠CA其背后的几何意义也是由于旋转变换与镜像对称变换不能交换顺序。而 （8）中的BC=CB实际上来源于下面一个简单的事实：即向x轴的投影变换与关于y轴的镜像对称变换C是可以交换的，即C=C，所以我们会有BC=CB。

4结束语

通过上面的讨论，我们可以看出矩阵乘法与我们中学时代所学数的乘法有着本质的区别，矩阵乘法不满足交换律。我们通过举例向量的旋转变换与投影变换不可交换，向量的旋转变换与镜像对称不可交换这些几何现象来说明矩阵乘法不满足交换律这一数学理论，让学生对矩阵乘法不可交换有了更加直观的认识，加深了他们对矩阵乘法的理解，提高了进一步学习线性代数的兴趣。这些例子也进一步说明了数学中的理论并不是相互孤立的，我们要学会从数学理论各种不同的角度去了解一个现象，才会对数学内容有更加深刻的认识。

参考文献

[1] 徐斌，李胜平.矩阵乘法的推广及应用[J].大学数学，2013（5）：87—91.

[2] 同济大学数学系.工程数学.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2014.6

[3] 居余马等.线性代数[M].北京：清华大学出版社，2002.9.

[4] 陈省身，陈维桓.微分几何讲义[M].北京：北京大学出版社，2001.10.endprint