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重基础 求创新 多整合

2017-10-25冯丽娟

试题与研究·教学论坛 2017年26期
关键词:综合运用拓展延伸融会贯通

冯丽娟

摘 要:紧张忙碌的中考早已结束,静下心来重新审视试卷,分析试题,寻找出处,提出合理化教学建议。以2017年杭州市数学中考第21题为例,从试题赏析、试题出处、解法展示、拓展延伸、教学建议几方面作简单分析,希望对今后的数学教学有所帮助。

关键词:解题能力;综合运用;重视课本;拓展延伸;融会贯通

紧张忙碌的中考早已结束,静下心来重新审视试卷,分析试题,寻找出处,提出合理化教学建议。一般大家都会比较关注最后一题,也就是压轴题。压轴题固然重要,但不是每一个学生都能做好,对于大部分学生来说,做好基础部分,做对、会做的部分才是至关重要的。即使是尖子生,不也要保证基础部分不丢分,不绕弯路吗?第21题的位置是在解答题的第5题,此题至关重要,一般来说,此题不会太简单,不会像前几个解答题那么一目了然就能解决,但也不像后两题那么难,需要花费大量的时间。对于中下同学来说,此题做对了,那分数就会提高一个档次。对于中上同学来说,在此题中不卡题,顺利通关,才能留有足够时间完成后两题,同时也会更有底气继续答题。所以,无论对于哪一类学生,中考第21题必须拿下。下面就2017年杭州市数学中考第21题作简单分析:

一、试题赏析

2017年杭州市数学中考第21题:如图1,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合)GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,联结AG。

(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;

(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求線段BG的长。

题目条件简单明了,主要考查了特殊平行四边形、三角形全等、勾股定理、特殊直角三角形的边长之间的关系。但是每一小题的解答都需要添加辅助线,这就给此题增加了难度。有关特殊平行四边形的内容是在浙江版八上第五章,继第四章平行四边形之后学的。至此,初中阶段由线段所组成的平面图形基本上已经介绍完毕。正方形是一种最特殊的平行四边形,它也是特殊的矩形、特殊的菱形。因此,它具有平行四边形、矩形、菱形所有的性质,它还可以分割出三角形、特殊三角形等,所以把正方形放入题中,需要综合运用多方面的知识,可以说是集合了大部分平面几何图形的内容和性质,考查得比较细致,比较全面。在2016年的杭州市数学中考中,第21题也是由正方形构造的图形,同样需要运用正方形的性质、三角形的全等和三角函数等知识解决。说明近两年中考,在对几何图形的考查上有一定的吻合性。由此可见,在几何图形的考查中,放入一个关于正方形的题型,并分割出一些三角形,既能考查四边形的内容,又涉及三角形的知识,可以比较全面地考查学生对平面几何图形的掌握情况,以及综合运用相关性质的解题能力。

二、试题出处

寻找试题出处,在浙教版数学八下第五章特殊平行四边形,课本第126页例2:

已知:如图2,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点,GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足,联结AG,EF,求证AG=EF。

这个例题与中考第21题的第(1)小题相似,图形大致一样,只是多了一条联结EF,解答过程都需要添加辅助线:联结GC,不同的是课本原题是要求证AG=EF,是一个明确的结果,而要证明两条线段相等,学生马上可以想到证三角形全等,相对来说方法容易形成。而中考题是要写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;这是一个开放的问题,不清楚它们之间有怎样的关系,一时间可能不易得到方法,这就在课本例题的基础上提升了一个档次,需要学生有足够的平面图形的相关知识,才能联系这三条线段之间的数量关系,从而猜想结果并进行证明。而第(2)小题,是在原图的基础上又增加了一个条件,这样的改编是源于课本,又高于课本的体现。其实借助正方形的一条对角线平分一组对角后,可以单独拎出△ABG,这个三角形中,已知两角分别为45°和60°,并且一条边长为1,这种图形实际上在九下第一章解直角三角形中是很常见的,准确地说应该是解斜三角形,在解直角三角形的应用中有很多这样的实际情境。在这里,只是把这类解斜三角形放在了正方形中,与正方形的性质结合起来,增加了难度,也体现了数学知识之间的整合。

三、解法展示

(1)联结GC,运用正方形边长相等和一条对角线平分一组对角的性质,证明△ABG≌△CBG(SAS),或证明△ADG≌△CDG(SAS),得到AG=GC,再根据有三个角是直角的四边形是矩形,证明四边形GFCE是矩形,得到GF=EC,最后利用勾股定理得到GF2+GE2=AG2。此题中,三条线段之间的数量关系,与以往的题目有不同之处,以往判断两条或三条线段之间的数量关系,结果通常是两条线段相等,或是两条较短线段的和等于较长那条线段,像这样的最终利用勾股定理得到三条线段的数量关系,比较少见、新颖。

四、拓展延伸

为进一步提高,以及想把一个题目的功效发挥的尽可能大,于是想到对此题进行拓展延伸。此题的第(1)问,条件不变,结论可以改为“探索AG与EF之间的关系”,这也是一个开放性的问题,而这里的关系应分为数量关系和位置关系,数量关系的证明跟之前的方法一致。位置关系的证明相对来说有一定的难度。需要延长AG,与EF相交于点M,延长FG,与AD相交于点N,证明△ANG≌△FGE(SAS)得∠NAG=∠GFE,再利用对顶角∠AGN=∠FGM,于是得到第三个角相等,即∠GMF=∠ANG=90°。这样的改动要求学生有较完整的平面几何图形的性质,及较强的综合解题能力。

在“2017年杭州市中小学教师专业技术职务晋升教学能力水平考试”中,更是将此题条件中的“正方形”改为“长方形”,并使AG⊥BD(其他条件不变),要求写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;看似小小的改动,但是却难倒了很多参加考试的老师们。因为这样一来,虽然点G由一个动点变为固定点,但是正方形特有而长方形不具有的性质不能用了,缺少了很多条件,全等就不能证了,而是要利用三角形相似等内容来解决了,确实有点复杂,但作为教师自己可以研究探索。只有教师本人具备探索创新的精神,才能在平时的教学中,慢慢地渗透给学生,潜移默化地影响学生,逐步提高学生的数学综合能力。

五、教学建议

2017年杭州市数学中考第21题注重基础考查,题型回归课本,又有一定的创新提高,贴近初中数学的教学实际。鉴于此,提出如下教学建议:

1.回归课本,重视对课本例题的教学

课标指出,数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构,是实现数学课程目标,实施数学教学的重要资源。因此,在平时数学教学中应重视回归课本,认真钻研教材,讲好、用好、学好课本,充分发挥教材的优势,注重学生对基础知识的掌握和理解,才能使学生各方面的能力得到提高。同时,我们要重视对课本例题的教学,教材中所选的例题都是很典型的,是经过精选,具有一定代表性的,例题教学具有相当重要的地位,它是学生接受新知识的起点,搞好课本例题的剖析教学,不仅能加强对概念、公式、定理的理解,而且对培养学生发现问题、解决问题的能力以及抽象思维能力等方面,能发挥其独特的功效。例题教学不是简单地让学生看一遍例题,或是教师说一遍例题,而是教师要设计一些有效的问题,一步步引导学生,让学生通过自主探索,自主发现结论,并能通过某个例题,有一定的数学解题方法掌握。近两年的数学中考题,都有课本例题或练习改编的,说明中考的考查也越来越趋向回归课本,重视对学生基础知识、基本技能的考查。学生只有顺利完成了基础部分的题目,才有能力和精力去钻研较难的题。

2.立足课本,适时进行改编及延伸

每次的考试,题目有可能跟课本中的某个题目相似,但不可能一模一样,有的学生学得比较死,只要题目稍稍改动,就不知如何动手,这就需要教师在平时的教学活动中慢慢渗透,逐步培养这方面的能力。比如在某个题目教学时,教师能适当地改变某个条件或结论,或者增加条件,进行题目的改编及再生,让学生进一步思考,从而总结由一个题目出发,由一个知识点出发,能拓展到几个题目,能拓宽到几个知识点,培养学生思维的发散性和整合性,有利于学生综合数学能力的提高。在平时的教学活动中,切忌单纯的就题讲题,要能举一反三,这就需要教师有足够的基本功,课前做过大量的准备,尝试改编及拓展,要把一个题目的功效发挥得尽可能大。

3.单元结束,及时进行归纳整理

在平时教学工作中,当每一章结束时,应及时引导学生对本章内容进行归纳整理,才能使学生更好地掌握所学内容。如上述题目中,有些学生不知道矩形、正方形有哪些性质,或是漏了某条性质,那么此题就不易解决。而在学习特殊平行四边形时,确实有很多的性质和判定,学生记忆比较困难,且容易搞混。因此在复习时,应系统地归纳整理,把零碎的知识点串起来,可以用列表格的形式进行比较,可以借助图形进行记忆,而不是单纯地背文字,这是数学与其他功课的不同之处。让学生的头脑里有这样的一些图表,这样学生印象比较深刻。将前后知识点融会贯通,培养学生综合解决问题的能力。同时,还可以让学生进行纠错整理,把平时练习、考试时做错的题目整理、归类,再进行重点复习。

4.融会贯通,加强知识之间的联系和整合

数学教学虽然按单元进行分类,但是每一个单元之间又有着千丝万缕的联系,最终的题型大多数都是你中有我,我中有你。在中考题中,经常可以看到代数与几何的碰撞,函数与图形的结合等。如上述的题目中,有特殊平行四边形的内容,也有之前学的三角形全等的证明,还有之后学的三角函数的应用。往往一个题目不会是单纯的一块知识点,必定是很多知识的整合,这就需要学生在平时的学习过程中,能把前后知识融会贯通,串联起来,而不是学了这个,丢了那个,解题过程中,如果某个知识点的遗忘或斷层,就无法顺利进行下一步操作。而培养学生的综合运用能力,还得靠我们教师的引导和渗透。

参考文献:

1.郝旭岚.2014年河北省中考数学试题赏析及反思[J].中国数学教育,2014(21):52-55.

2.叶聪.高中数学教学应重视回归课本[J].文理导航,2012(23):32.

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