赵佳　韩林　黄卫平

摘要：提出了一种基于半矢量复模式匹配方法的类矩形波导模式求解方法，利用一维复模式求解和复模式匹配方法，求解包括矩形波导在内的任何类矩形波导的电磁场分布和有效折射率。首先在波导一个维度进行差分离散，得到一维复模式分布，在另一个维度利用波导的边界条件和电磁场在波导内的奇偶分布特性得到解析关系，最后通过求解特征矩阵得到类矩形波导中电磁场的分布。与传统方法相比，利用复模式匹配方法求解类矩形波导中的模场具有计算精度高，适用范围广等优点。

关键词： 矩形波导；复模式匹配；半矢量

Abstract： In this paper， a new two dimensional rectangle-like waveguide mode based on semi-vectorial complex mode-matching-method is proposed. Utilizing one-dimensional complex modes and complex mode-matching method， the electromagnetic filed distribution and effective index of waveguide modes can be obtained. The one-dimensional mode distribution can be obtained by using difference discrete in one dimension of the waveguide and the analytic relationship of the other dimension can be solved by using the boundary condition and parity distribution characteristic of the electromagnetic field in the waveguide. The electromagnetic field can be derived by solving the eigenmatrix. Compared with the full vector method， the solution we proposed has the wide application and high accuracy.

Key words： wo-dimensional waveguide； complex mode-matching-method； semi-vector

硅基光电集成技术将光器件小型化并和微纳电子器件集成到同一硅衬底上，形成一个完整的具有新型功能的新型大规模集成芯片[1-3]，是光通信技术发展的趋势。受工艺条件限制，硅基光波导通常采用类矩形的结构（条型波导、脊型波导等）[4-5]。因此，如何精确求解出波导中的模式，利用模式分析方法来研究硅基光电器件的光传输性能，从而指导集成芯片的设计，就变得尤为重要。常用的求解波导模式的方法包括：有限差分法[6]、有限元法[7]等数值计算方法，此类方法由于求解精度与网格尺寸有关，导致在高精度情况下计算量较大。为简化波导分析过程，我们利用一维平板波导的复模式分析方法和复模式匹配的方法[8-9]建立了类矩形波导的半解析模式求解算法。将类矩形波导拆分，如图1所示，在横截面沿一个维度将波导拆分成几个均匀的单元，每个单元作为平面波导来处理，求解每个单元利用完全匹配层（PML）和完美反射边界（PRB）截断的复模式分布[10-12]，在界面处利用电磁场的连续性进行模式匹配，得到另一维度下的解析关系，从而求解出模场的分布和传播常数的大小。由于大尺寸硅基光波导中的横电波模式（TE）和横磁波模式（TM）的主要场分量Ey、Hx、Hz和Ex、Hy、Ez比其他场分量大几个数量级，以下主要针对两种模场（TE和TM）的主要场分量进行了分析（半矢量分析）。

1 一维平板模式

假设在一维平板波导中的传播方向为u，平板波导的折射率只在y方向变化，结构沿v方向是均匀的。基于半矢量分析方法，波导中只需考虑TE或TM分量，下文中以TE的模式为例，TM模式分析方法与TE模式分析方法一致。

TE模的3个场分量可以表示成：

2 二维平面模式

在平板波导的坐标系下，电磁场的传播方向为u，结构沿v向均匀，折射率变化的方向为y方向。将几个平板波导在xyz坐标系下组合，如图2所示，电磁场可沿xz平面内的任意方向传播，因此可将传播常数分解到x和z方向，场分量分解到xyz坐标系中。

对于平板波导TE模来说，Hy分量在坐标转换时保持不变，Hu和Hv分解成Hx、Hz、Ex、Ez，这5个分量称为纵电（LSE）模。二维模式可以由许多LSE模式来组成，这些LSE模式有同样的z向传播常数β。

沿x方向的LSE模为：沿x正方向的传播常数为[kTEx=（kTEu）2-β2]，其中β有正的实部和负的虚部，定义[sinθTE=βkTEu]，[cosθTE=kTExkTEu]。场分量可以表示成：

3 二维半矢量模式分解

在x方向上任意位置的半矢量模可以分解为LSE模。只考虑TE模式，二维场分布可以表示为：

4 传输矩阵

在单元波导的边界处，电场的切向分量和磁場的法向分量是连续的，假设波导的边界在x=0处，如图3所示。界面处表达式如式（7）：

5 边界条件和传输谐振条件

5.1 x =L处的边界条件

在PML和PRB作为边界条件的模型中，边界为x=L。材料是均匀的，坐标拉伸后L变成一个复数。利用边界条件得到：

6 脊波导模式计算endprint

为进一步验证半矢量模式匹配方法解模的精确性，这里以硅光子平台常用的脊型波导为例进行对比计算。如图4所示，脊型波导的上包层材料为空气，中间芯层的材料为硅（折射率为3.47），下衬底为二氧化硅（折射率为1.44）。脊型波导中间高度H为0.6 μm，两边平板的高度h为0.4 μm，脊的宽度W为0.8 μm。进行计算的窗口大小为3.6 μm×2.8 μm，PML的厚度为500～10i nm。计算波长为1.55 μm。计算得到的各个场分量如图5所示。

将半矢量结果与数值计算结果进行了比较。定义折射率的相对误差为：

[（neff，semi_vector-neff）neff ] （12）

如圖6所示，随着脊的宽度增加，脊波导中的传输模式更接近纯TE或TM模式，计算误差会降低。随着脊的高度增加，波导中的传播模式不再是纯TE或TM模，计算误差将会增大。

7 结束语

文章中，我们提出了一种新的精确求解大截面波导模式的方法，相比波脊波导解模的经验公式，精度大大提高；相比数值计算方法不需要进行网格剖分和迭代计算，仅需要进行传输矩阵运算，内存占用少，计算量小；相比全矢量模式解模算法复杂度降低，在波导截面相对较大（纯TE或TM模）情况下，精度和全矢量相当。因此在大截面波导器件设计过程中，用半矢量的解模算法替代传统模式求解算法，在相同精度下可得到更快的计算速度。

致谢

本研究得到McMaster大学梁海波博士和山东大学孙崇磊博士的帮助，在些表示感谢。

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